比较判别法与积分判别法

正项级数有一个别处没有的好性质：部分和只会往上走，不会回头。

Sₙ 一路上升，只有两种命运——要么冲上无穷，要么被某个天花板挡住，慢慢贴上去。所以对正项级数，判定收敛就变成了一件事：找一个天花板。

这就是比较判别法的全部内容。把 Σaₙ 想成一排宽度为 1、高度依次是 a₁, a₂, a₃, … 的砖。你手上另有一堆砖 Σbₙ，它的总高度你早就算出来了，是个有限数。如果你的每一块砖都不高于对应的那一块，你这堆砖的总高度也逃不出那个有限数。反过来，如果有一堆砖你知道会顶穿屋顶，而你的每一块都不比它矮，那你也顶穿了。

请注意「正项」这个前提不是装饰。一旦允许负项，Sₙ 就可以来回晃，「有上界」再也推不出「收敛」。而且逐项比大小本身就失效了：−100 比 1 小，可它对总和的搅动比 1 大得多。比较判别法比的是砖的高度，负数的砖没有高度。

还要注意这两个方向都是单行道。aₙ ≤ bₙ 且 Σbₙ 收敛，推出 Σaₙ 收敛；aₙ ≥ bₙ 且 Σbₙ 发散，推出 Σaₙ 发散。交叉配对就会出错。1/n² ≤ 1/n，而 Σ1/n 发散——但 Σ1/n² 收敛得好好的。被一个发散的东西压在下面说明不了任何事：天花板没了，不等于你必须往上冲。

比较判别法有个隐含要求：你得先有一个「会算的级数」。可如果手上一个都没有呢？那就换一个你确实会算的东西来比——反常积分。

画一张图就明白了。在 y = f(x) 的图像下面摆一排宽度为 1 的矩形，第 n 个的高度取 f(n)。这排矩形的总面积就是 Σf(n)，曲线下的面积就是 ∫f(x)dx。当 f 递减时，以左端点取高的矩形每一个都盖过它下面那段曲线，于是级数压在积分之上；把矩形右移一格改用右端点，每一个都藏进曲线之下，于是级数又被积分加上第一块砖压住。两边一夹：级数和积分要么一起有限，要么一起无穷。

这也解释了三个条件为什么都得写上。f 要正，否则部分和不单调，夹住了也锁不死结论；f 要递减，否则矩形和曲线的高低关系会来回翻转，不等号根本写不出来；f 要连续，否则右边那个积分没有意义。这些不是教材的谨慎，这是那张图能画出来的全部理由。

最后一件极容易记错的事：级数的和不等于积分的值。看图就知道，矩形和曲线之间永远留着一串月牙形的缝隙，它们的总面积不为零。积分只是把级数夹在两个有限数之间，夹缝里的具体位置它不管。∫₁^∞ dx/x² = 1，而 Σ1/n² = π²/6 ≈ 1.6449——都有限，但不是一个数。积分判别法回答「收不收敛」，从不回答「收敛到几」。

设 aₙ ≥ 0、bₙ ≥ 0 对一切 n ≥ N 成立（N 是某个起始下标；有限多项的差异不影响收敛性）。以下 Σ 一律指 Σ_{n=1}^{∞}。

比较判别法：
(i) 若 aₙ ≤ bₙ 且 Σbₙ 收敛，则 Σaₙ 收敛；
(ii) 若 aₙ ≥ bₙ 且 Σbₙ 发散，则 Σaₙ 发散。
证明就是那句直觉的形式化：记 Aₙ = a₁+⋯+aₙ、Bₙ = b₁+⋯+bₙ，则 Aₙ 单调不减且 Aₙ ≤ Bₙ ≤ Σbₖ，单调有界数列必收敛。

积分判别法：设 f 在 [1, ∞) 上连续、非负、单调不增，且 aₙ = f(n)。那么 Σaₙ 收敛 ⟺ ∫_1^{∞} f(x)dx 收敛。这里 ∫_1^{∞} f(x)dx := lim_{t→∞} ∫_1^{t} f(x)dx，就是上一片的反常积分。

夹逼不等式（同时也是证明）：由 f 不增，对 x ∈ [n, n+1] 有 f(n+1) ≤ f(x) ≤ f(n)，在该区间上积分得 f(n+1) ≤ ∫_n^{n+1} f ≤ f(n)。对 n = 1 到 N−1 求和：
Σ_{n=2}^{N} aₙ ≤ ∫_1^{N} f(x)dx ≤ Σ_{n=1}^{N−1} aₙ。
左半边说：积分有限则部分和有上界，级数收敛。右半边说：级数有限则积分有上界，积分收敛。两句取逆否，就得到发散的方向。

把不等式两端令 N → ∞，还额外得到一个估值区间：
∫_1^{∞} f ≤ Σaₙ ≤ f(1) + ∫_1^{∞} f。
注意这是区间，不是等号——级数与积分之差落在 [0, f(1)] 里。

起点无关：把 1 换成任何整数 m ≥ 1 结论不变，只要 f 在 [m, ∞) 上满足那三个条件。