微积分基本定理（下）：牛顿-莱布尼茨公式
∫ₐᵇ f = F(b) - F(a)：要算面积，只需要找到一个原函数再代两次。求极限的活儿被化归成了求导的逆运算。
8 分钟思维方法: 化归
把没见过的问题变形成见过的问题
这一片为什么存在
上一片证明了“先积再导等于什么都没做”,听起来像个漂亮的对称性,可读者手上算面积的工具还是黎曼和:切、乘、加、取极限。这一片是把那个定理兑现成一件工具。兑现之后,∫₀¹x²dx 不再需要凑 n(n+1)(2n+1)/6 那种和式,而是两行字的事。要交代的是:凭什么可以这样,以及这个特权在哪里失效。
内容
先不看积分号,想一个里程表。车在跑,速度表读数是 f(t),里程表读数是 F(t)。问“这一小时走了多少公里”,没人会去把一小时切成无数小段、每段速度乘时长再加起来。都是直接看里程表:结束读数减开始读数。
牛顿-莱布尼茨公式说的就是这件事,只是要反过来用。上一片告诉我们,累积量的导数正是瞬时速率:若 F 是 f 的累积,则 F' = f。现在把这句话倒过来读。要是我能找到一个函数,它的导数正好是 f,那它就是一台合格的里程表。而里程表两个读数的差,就是这段路的累积量。
这一步是纯粹的化归。原来的问题是切分、求和、取极限,一个关于无穷的问题。新的问题是“谁的导数是 f”,一个把求导反着做的问题。求导有规则、可查表、能机械操作;取极限不行。整套定积分的计算术,从此变成一张原函数表加一些凑微分的技巧。
有一件事值得多想一秒:里程表的零点在哪,不影响答案。把 F 换成 F + 100,两个读数都加 100,相减时抵消。所以“任何一个原函数”都能用,不必费劲去找那个从 a 开始记数的特定原函数。这也解释了为什么定积分的答案里不该出现 +C。它是一个具体的数,不是一族函数。
代价在于:里程表得在整段路上都正常工作。若中途某点它坏了、读数跳了,那么末读数减初读数就不再是走过的路程。这笔账下面就要收。
设 f 在闭区间 [a,b] 上连续,F 是 f 在 [a,b] 上的一个原函数,即对每个 x∈[a,b] 都有 F'(x) = f(x)。那么 ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a),常记作 [F(x)]ₐᵇ。
符号逐个交代:a 是下限,b 是上限,f 是被积函数,dx 只标明积分变量是谁,F 是任选的一个原函数,等号右边整体是一个实数。
为什么成立。上一片给了累积函数 G(x) = ∫ₐˣ f(t) dt,并证明 G' = f。F 与 G 在 [a,b] 上导数相同,故 F - G 恒等于某常数 C。于是 F(b) - F(a) = (G(b)+C) - (G(a)+C) = G(b) - G(a)。而 G(a) = 0,G(b) = ∫ₐᵇ f,证毕。
三处要盯住。写成 F(a) - F(b) 得到的是相反数,上减下的顺序是公式的一部分。右边是一个数,补个 +C 就是把定积分和不定积分混为一谈。前提里“F 在整个 [a,b] 上都满足 F'=f”是硬条件,f 在某点无界时,这条通常已经破了。
跟着做一遍
求 ∫₁² dx/x²。算完后回头判断:同一个原函数能不能用来算 ∫₋₁¹ dx/x²?
- 找原函数:1/x² 就是 x⁻²,而 (−x⁻¹)' = x⁻²,所以取 F(x) = −1/x。
- 查前提:1/x² 在 [1,2] 上连续,F(x) = −1/x 在 [1,2] 上处处可导且 F' = f。公式可用。
- 上限减下限:F(2) − F(1) = (−1/2) − (−1) = 1/2。
- 换个原函数验一遍:取 F(x) = −1/x + 7,得 (−1/2+7) − (−1+7) = 1/2。常数抵消,任一原函数都给同一个数。
- 现在硬套到 [−1,1]:F(1) − F(−1) = (−1) − (1) = −2。
- 停下来看这个数:被积函数 1/x² 在哪里都为正,面积不可能是负的。出现矛盾,说明某一步没资格做。
- 定位破口:x=0 处 1/x² 无定义,F(x) = −1/x 在 [−1,1] 上并非处处可导的原函数,第 2 步那道检查这次不通过。
- 收账:前提不是装饰。−2 不是算错了一步,而是这套公式从一开始就没被授权用在这个区间上。
结果
∫₁² dx/x² = 1/2。而 ∫₋₁¹ dx/x² 不能用牛顿-莱布尼茨公式,−2 是假答案;该积分作为反常积分是发散的。判断公式能不能用,靠的是“F 在整个闭区间上都是原函数”这一条,不是“我写得出原函数”。