隐函数求导
不必先解出 y：把 y 当作 x 的函数，对整个方程两边求导，每次遇到 y 就多乘一个 dy/dx。
7 分钟思维方法: 换表示
同一个对象换一种写法，难题可能自动变简单
这一片为什么存在
你会求导，但 x²+y²=25 会卡住你：y 解不出来，或者解出来是带根号的两支，代回去求导一片狼藉。这一片教你在完全不解 y 的前提下，把 dy/dx 直接拿到手。
内容
先别看方程，看一条画在纸上的曲线。你把笔尖放在曲线上某一点，沿曲线挪一小段，x 挪了一点，y 也被迫挪了一点——它没得选，因为它必须留在曲线上。dy/dx 问的就是这两个「一点」的比值。这件事和 y 能不能被解出来毫无关系：笔尖照样在动，斜率照样存在。能不能写出 y 的公式，是你的书写能力问题，不是曲线的性质问题。
现在回到方程。x²+y²=25 说的是：只要点在曲线上，左边这一坨永远等于右边的 25。既然两边时时刻刻是同一个数，那么 x 变动时，两边的变化率也必须相等。右边是常数，变化率为零。所以左边内部各项的涨落必须刚好互相抵消。这个「必须抵消」的条件写出来，就是 dy/dx 要满足的方程。整套方法就这一句话。
剩下唯一的技术问题是：y 是谁的函数？答案是 x 的。你写不出它的公式，但链式法则从来没要求你写得出。d/dx(y²) 是「外层平方的导数 2y」乘上「内层 y 对 x 的导数」，也就是 2y·dy/dx。那条尾巴不是可选装饰。丢掉它，等于宣称 y 对 x 的变动毫无反应，那这个方程也就不再约束任何东西了。
最后一件事会让很多人不安：算出来的答案里带着 y。这不是没算完，是算对了。圆上 x=3 处有两个点 (3,4) 和 (3,−4)，斜率一个是 −3/4，一个是 3/4。一个只含 x 的公式没有能力同时报出两个数。dy/dx = −x/y 是一台机器：喂进去一个点，吐出来那个点的斜率。
设方程写成 F(x,y)=0。假设在关心的那一点附近，存在可微函数 y=y(x)，把它代回方程后等式对附近所有 x 都成立。记号：y′ 与 dy/dx 指同一个东西，即 y 关于 x 的导数。
操作只有一条：把方程里每一个 y 都读作 y(x)，然后两边对 x 求导。只含 x 的项照常求导。含 y 的项走链式法则，d/dx[g(y)] = g′(y)·dy/dx。x 与 y 相乘的项走乘法法则。
求导后得到的是关于 dy/dx 的一次方程。移项、提公因式、除以系数，就把 dy/dx 解出来。结果一般是 x 与 y 的二元表达式，形如 dy/dx = P(x,y)。要拿到具体数值，必须同时代入 x 和 y 两个坐标。
分母为零的点，对应切线竖直。那里 y 局部不是 x 的函数，方法失效，需要反过来把 x 看成 y 的函数。
跟着做一遍
曲线 x² + xy + y² = 7 经过点 (1,2)。求它在该点处的切线斜率，并写出切线方程。
- 先验证点在曲线上：1 + 2 + 4 = 7，成立。不在曲线上的点谈不上切线，这一步别跳。
- 把方程里每个 y 都读作 y(x)，对两边关于 x 求导。
- 第一项：d/dx(x²) = 2x。
- 第二项 xy 是两个含 x 的东西相乘，用乘法法则：d/dx(xy) = y + x·dy/dx。
- 第三项 y² 用链式法则：d/dx(y²) = 2y·dy/dx。写成 2y 就是漏了尾巴。
- 右边常数 7 求导得 0。合起来：2x + y + x·dy/dx + 2y·dy/dx = 0。
- 把含 dy/dx 的项归到一边并提公因式：(x + 2y)·dy/dx = −(2x + y)，故 dy/dx = −(2x+y)/(x+2y)。
- 代入 x=1、y=2：dy/dx = −(2+2)/(1+4) = −4/5。
结果
斜率是 −4/5，切线方程 y − 2 = −(4/5)(x − 1)。注意 −(2x+y)/(x+2y) 同时含 x 和 y，这不是缺陷。这条曲线上还有一点 (2,1)，代进去得 −5/4，与 (1,2) 处完全不同。两点的 x 不同、y 也不同，只报一个坐标是分不清它们的。