独立是一个性质，不是默认
两件事独立要被检验，不能被假设。而一旦独立，乘法就成立——顺序是这样，不是反过来。
5 分钟思维方法: 概率直觉
把不确定当成可以计算的对象，而不是没法算的借口
这一片为什么存在
2008 年之前,有模型把两笔房贷的违约当成互不相干的事,于是直接相乘:各 1%,同时违约就是万分之一。那一年它们一起违约了。乘法本身没算错,错在乘之前没有人去验独立——它是被默认的。
内容
独立说的是信息,不是因果。把它翻译成一句可操作的话:已经知道 B 发生了,你对 A 的判断需不需要改?不需要改,才叫独立。
这句翻译立刻能拆掉两个绊子。
第一个是“互斥就是独立”。互斥的意思是 A 和 B 不能同时发生。可一旦知道 A 发生了,你立刻确定 B 没发生——判断被改到了极点。所以两件概率都不为零的互斥事件,恰恰是彼此依赖最强的一对,离独立最远。它们被混在一起,只是因为在字面上都像“互不相干”。
第二个是“看着没关系就可以相乘”。乘法是独立的结论,不是任意两件事自带的权利。想写 P(A)·P(B),你得先说得出独立从哪来:两次分别投的骰子,抽完放回,两台不共用电源的机器。说不出理由,就不能乘。
真正难办的是,依赖常常藏在一个共同的原因里。两栋房子各自看都很稳,可它们泡在同一个房市里;两块硬盘各自的年故障率都很低,可它们插在同一台机器、同一个机房、同一批出厂。共因不出现在任何一个单独的概率里。所以只盯着 P(A) 和 P(B) 这两个数,你永远看不出它在不在。
定义:称 A 与 B 独立,若 P(A∩B) = P(A)P(B)。其中 A∩B 表示“A 与 B 同时发生”。
当 P(B) > 0 时,这个等式等价于 P(A|B) = P(A),即“B 发生这条信息不改变 A 的概率”。这正是上面那句直觉的符号版本。
注意方向。等式是独立的定义和判据,不是可以随手取用的公式。对一般的 A、B,通用的式子是 P(A∩B) = P(A|B)P(B)。只有当 P(A|B) = P(A),它才塌成乘积。
三件事的要求更严。A、B、C 相互独立,需要三个两两等式全部成立,并且 P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)。最后这一条推不出来,必须单独验。
跟着做一遍
连投两次公平硬币,四个结果 HH、HT、TH、TT 等可能。设 A = 第一次正面,B = 第二次正面,C = 两次结果相同。先凭直觉判断 A、B、C 是不是相互独立,再按下面的步骤逐条核对。
- 写下样本空间:HH、HT、TH、TT,各 1/4。
- 数各自的概率:A = {HH, HT},P(A) = 1/2;B = {HH, TH},P(B) = 1/2;C = {HH, TT},P(C) = 1/2。
- 验 A 与 B:A∩B = {HH},概率 1/4,而 1/2 × 1/2 = 1/4。独立。
- 验 A 与 C:A∩C = {HH},概率 1/4,等于 1/2 × 1/2。独立。
- 验 B 与 C:B∩C = {HH},概率 1/4,等于 1/2 × 1/2。独立。
- 三个一起验:A∩B∩C = {HH},概率 1/4;而 P(A)P(B)P(C) = 1/8。等式不成立。
- 找出原因:已知 A 与 B 都发生,结果必然是 HH,于是 C 一定发生。P(C | A∩B) = 1,不等于 1/2。
- 顺手验一次互斥:取 D = 第一次反面。A 与 D 互斥,P(A∩D) = 0,而 P(A)P(D) = 1/4。互斥在这里正好把独立打掉。
结果
两两独立三次全过,整体独立却当场失败。C 是由 A 和 B 造出来的:任取两个都不泄露第三个的信息,三个凑齐就完全确定。所以“两两独立”与“相互独立”是两个不同的性质,前者推不出后者。乘法能用到几重,就得验到几重。