反函数
反函数把输出送回输入，图像与原函数关于 y = x 对称。同一件事有两种说法，从哪一边下手是可以挑的。
11 分钟思维方法: 对偶
同一件事有两种互为镜像的说法，从另一边看常常更容易
这一片为什么存在
你早就会解方程了，但「解出 x」和「写出反函数」在你脑子里可能还是两件事。这一片把它们合成一件，顺带拆掉一个真实的坑：把式子里的 x 和 y 换个位置抄一遍，常常是错的——因为定义域没跟着换，分支也没挑。
内容
先看一件你每天都在做的事：算出 f(7) = 16 之后，有人问「什么数经过 f 得到 16」，你会回答 7。这两句话的信息量完全相同，只是朗读方向相反。反函数就是把这种「反着读」正式登记成一个函数：f 负责由因到果，f⁻¹ 负责由果回因。同一张对应表，从左往右读是 f，从右往左读是 f⁻¹。
图像上这件事更直观。函数图像是一堆点 (输入, 输出)。反着读，就是把每个点的两个坐标交换：(7,16) 变成 (16,7)。而交换坐标在几何上正是关于直线 y = x 做镜像。所以你根本不必重新描点——把纸沿 y = x 对折，f 的图像压过去就是 f⁻¹ 的图像。
麻烦只出在一个地方：反着读，答案可能不唯一。x² 把 4 和 −4 都送到 16，于是「什么数平方得 16」有两个答案。函数不允许一个输入配两个输出，反函数就不存在了。这不是死刑，是一个要求：先把定义域切到一段单调的范围上，让每个输出只剩一个来源。切成 x ≥ 0 得到 √x，切成 x ≤ 0 得到 −√x——两个都对，但它们是两个不同函数各自的反函数。所以「x² 的反函数是 √x」这句话是残缺的，缺了后半句「定义域限制在 x ≥ 0」。
最后一个提醒：f⁻¹ 里的 −1 不是指数。f⁻¹(x) 与 1/f(x) 一般毫无关系，就像 sin⁻¹ 不是 1/sin。它是「逆运算」的记号。
设 f 的定义域为 A，值域为 B（B 是 f 真正取到的全部输出，不是你希望它取到的）。若 f 在 A 上一一对应（不同输入给不同输出），则存在唯一的 f⁻¹: B → A，满足两条恒等式：对一切 x ∈ A，f⁻¹(f(x)) = x；对一切 y ∈ B，f(f⁻¹(y)) = y。上标 −1 读作「逆」，不是指数。
定义域与值域互换：dom(f⁻¹) = B = ran(f)，ran(f⁻¹) = A = dom(f)。这一条是判断你写对没写对的硬指标。
图像层面：(x, y) 落在 f 的图像上，当且仅当 (y, x) 落在 f⁻¹ 的图像上。坐标交换即关于直线 y = x 的反射，故两条曲线互为镜像。
可逆判据：f 在区间 A 上严格单调 ⇒ f 在 A 上一一对应 ⇒ f 在 A 上可逆。不单调时的做法不是放弃，而是把 A 缩到一个单调段上再谈反函数；缩法不唯一，所以反函数依赖于你选的那一段。
跟着做一遍
设 f(x) = (x − 3)²，定义域限制为 x ≥ 3。求 f⁻¹，写清它的定义域与值域，并双向验证。
- 确认可逆：x ≥ 3 时 x − 3 ≥ 0，此时 (x − 3)² 随 x 增大而严格增大，单调 ⇒ 一一对应 ⇒ 可逆。
- 求 f 的值域：x = 3 给出 0，x 增大时无上界，故 ran(f) = [0, ∞)。这将成为 f⁻¹ 的定义域。
- 写 y = (x − 3)² 并反解 x：x − 3 = ±√y。到这一步出现了两个分支，必须挑一个。
- 用定义域挑分支：x ≥ 3 ⇒ x − 3 ≥ 0，取正根，x = 3 + √y。（若取 3 − √y，代 y = 16 得 3 − √16 = −1，不在 x ≥ 3 里，排除。）
- 换回习惯写法：f⁻¹(x) = 3 + √x，定义域 [0, ∞)，值域 [3, ∞)。注意它与 f 的定义域、值域正好对调。
- 双向验证一个具体点：f(7) = (7 − 3)² = 16；f⁻¹(16) = 3 + √16 = 7。同一条信息的两种读法。
- 验证两条复合恒等式：f⁻¹(f(7)) = 3 + √((7 − 3)²) = 7；f(f⁻¹(16)) = ((3 + √16) − 3)² = 16。
- 对照错误答案：1/f(7) = 1/16 = 0.0625，与 7 毫无关系。f⁻¹ 不是 1/f。
结果
f⁻¹(x) = 3 + √x，定义域 [0, ∞)，值域 [3, ∞)。点 (7, 16) 在 f 的图像上，(16, 7) 在 f⁻¹ 的图像上；两点中点为 (11.5, 11.5)，落在 y = x 上，正是镜像关系的体现。