平行线：一条截线上冒出来的三对角
同位角、内错角、同旁内角是同一张图上的三种读法。平行是它们成立的前提，不是结论——反过来用时要说清用的是哪一半。
8 分钟思维方法: 化归
把没见过的问题变形成见过的问题
这一片为什么存在
作业上写着：∠1 与 ∠2 是同位角，所以 ∠1 = ∠2。这一行被划掉了，写的人不服气——图上量出来确实一样大。问题在于，「同位角」三个字只说了这两个角待在图里的什么位置，而位置本身不产生任何大小关系。让它们相等的是另一个条件，那个条件必须被写出来，不能靠图看着像就默认成立。
内容
想象两条马路，一条斜路从它们身上穿过去。每个路口冒出四个角，两个路口一共八个。先别急着命名，只盯住「路口长什么样」：如果两条马路平行，那么下面那个路口的图形，就是上面那个路口沿着斜路平移下来的结果，四个角一个不差地重合。平行在这里干的全部事情就是这一件——让两个路口长得一模一样。
路口一样之后，剩下的都是命名和换算。位置完全对应的那一对角叫同位角，它们靠平移直接重合，所以相等。内错角是同位角的对顶角，对顶角相等，于是内错角也相等。同旁内角是同位角的邻补角，两个角拼成一条直线，于是它们相加得 180°，而不是相等——这一步经常被顺手写成「也相等」，其实中间隔着一次补角。
再把平行拿掉看看。两条马路若不平行，它们会在远处交于一点，靠近那一点的路口必然更「挤」，两个路口的图形根本不重合。此时同位角这个名字照样叫得出来，因为名字只描述位置；但它一句结论也不承诺，八个角里没有任何一对被保证相等。
所以真正要记的只有一条：平行让两个路口重合。其余两对角，是从这一条换算下来的，不是三条并列的规律。
设直线 a、b 被第三条直线 l 所截，l 称为截线，交点分别记作 P、Q。a 与 b 之间的带状区域称为内，其余称为外。取 ∠1 在 P 处、∠2 在 Q 处。
同位角：∠1、∠2 在 l 的同一侧，且一个在内、一个在外。内错角：在 l 的两侧，且都在内。同旁内角：在 l 的同一侧，且都在内。这三个名字只由位置决定，与角的大小无关。
性质：a∥b ⇒ 同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。
判定：同位角相等 ⇒ a∥b；内错角相等 ⇒ a∥b；同旁内角互补 ⇒ a∥b。
两行的箭头方向相反。∥ 在性质里是已知条件，在判定里是待证结论；引用时必须点名用的是哪一行，否则就会写出「因为是同位角，所以相等」这种没有前提的话。
跟着做一遍
在纸上画两条平行的横线 a（上）、b（下），再画一条从左上斜到右下的直线 l 穿过它们，交点记为 P（在 a 上）、Q（在 b 上）。每个角用「内或外 + 左或右」定位。设 ∠1 是 P 处内部右侧的角，∠1 = 65°。请把八个角全部求出来，并指出与 ∠1 成同位角、内错角、同旁内角的各是哪一个。
- 按上面的说法把图画出来，在 P、Q 周围各标出四个角的位置名：内左、内右、外左、外右。
- 补全 P 处：∠1 = 内右 = 65°；它的邻补角内左 = 180° − 65° = 115°；它的对顶角外左 = 65°；外右 = 115°。
- 找同位角：与 ∠1 同在 l 右侧、且一内一外的，是 Q 处的外右角。用性质（a∥b ⇒ 同位角相等）得它等于 65°。
- 补全 Q 处：外右 = 65°，邻补角外左 = 115°，对顶角内左 = 65°，内右 = 115°。八个角至此全部确定。
- 读内错角：与 ∠1 分居 l 两侧、且都在内部的，是 Q 处内左 = 65°。与 ∠1 相等，符合性质。
- 读同旁内角：与 ∠1 同在 l 右侧、且都在内部的，是 Q 处内右 = 115°。65° + 115° = 180°，是互补而不是相等。
- 反向自查：把 b 转动一点让它不再平行，比如让 l 与 b 的夹角变成 70°。重画后 Q 处那四个角变成 70° 与 110°，第 3 步的等号当场失效，而「同位角」这个名字一个字都没变。
结果
八个角只取两个值：65° 与 115°。同位角、内错角落在与 ∠1 同值的一边，同旁内角落在互补的一边。整个过程只用了一次平行，就是第 3 步；后面全是对顶角与邻补角的换算，这也是为什么三对角只需记住同位角那一条。第 7 步给出的结论是：名字来自图形位置，等号来自平行——平行撤掉，名字还在，等号先走。