多边形内角和：从三角形递推上去
把 n 边形切成 n−2 个三角形，内角和就是 (n−2)×180°。外角和却恒为 360°，跟 n 无关——两个式子里只有一个随边数长大。
5 分钟思维方法: 归纳与递归
证明第一块骨牌会倒，再证明每块都会推倒下一块
这一片为什么存在
一个十七边形摆在面前，问内角和。数出十七个角，写下 17×180°=3060°——这是最常见的答案，也是错的，整整多算了 360°。多出来的这 360° 不是随手算错的零头，它有自己的名字，而且正好是这一片要交给你的第二个结论。
内容
先别急着找公式，做一件手上的事：画一个五边形，挑一个顶点，往不相邻的顶点连一条对角线。这条线把五边形切成一个三角形和一个四边形。切完之后数一数角：三角形的三个角加上四边形的四个角，拼起来正好是原来五边形的五个角，没有多出来的，也没有漏掉的。所以五边形的内角和 = 180° + 四边形的内角和。
同一招再用一次。四边形切一刀，变成两个三角形，于是四边形是 2×180°，五边形是 3×180°。
关键不在于算出某个具体的数，而在于这句话：每切一刀，边数少 1，内角和少 180°。这是一条递推。只要钉住起点——三角形是 180°——就能一路推到任意 n。n 边形一直切到全是三角形，需要 n−3 条对角线，最后得到 n−2 个三角形。
那外角和呢？换个动作：不看角，看走路。你沿着多边形的边走一圈，回到起点时，面朝的方向也转回了原样。一路上每到一个顶点转一次身，转过的角度正是那里的外角。走完整圈，你总共转了一整周，360°。注意这个过程里边数根本没被用上——十边形和一百边形，都只是转一圈而已。所以外角和恒为 360°，不随 n 长大。
凹多边形也没被排除在外。任何简单多边形都至少存在一条把它切成两块的对角线，递推照旧进行。凹顶点处的外角要记成负的，因为你在那儿是往回转的，加起来仍然是 360°。
记 S(n) 为简单 n 边形（边不自交）的内角和，n ≥ 3。
起点：S(3) = 180°。
递推：S(n) = S(n−1) + 180°。依据是那条对角线把 n 边形拆成一个三角形和一个 (n−1) 边形，两部分的角恰好拼成原来的 n 个角。
归纳：n=3 时 (3−2)×180° = 180° 成立；若 S(k) = (k−2)×180°，则 S(k+1) = (k−2)×180° + 180° = (k−1)×180°。故对一切 n ≥ 3 有 S(n) = (n−2)×180°。
外角记作 e_i = 180° − a_i，其中 a_i 是第 i 个顶点处的内角。求和得 Σe_i = n×180° − S(n) = 360°。n 在这一步被消掉了，这就是外角和与边数无关的代数原因。
跟着做一遍
取一个正十二边形。(a) 内角和是多少？(b) 每个内角是多少度？(c) 不借用 (b) 的结果，直接求每个外角。
- n = 12，代入 S(n) = (n−2)×180°，得 S(12) = 10×180° = 1800°。
- 顺手比一下那个错答案：12×180° = 2160°，比正确值多 360°，正是被多算进去的那一整圈。
- 正十二边形的十二个内角全相等，所以每个内角 = 1800° ÷ 12 = 150°。
- (c) 走外角这条路：外角和恒为 360°，这一步完全不需要知道 n。
- 十二个外角也全相等，于是每个外角 = 360° ÷ 12 = 30°。
- 回头对一次账：150° + 30° = 180°，内角与外角互补，两条路算出来的结果咬合上了。
- 再往前推一步：把 12 换成 100，每个内角变成 (100−2)×180° ÷ 100 = 176.4°，每个外角只剩 3.6°，而外角总和还是 360°。
结果
S(12) = 1800°，每个内角 150°，每个外角 30°。两个式子里只有内角和跟着 n 一起长大；外角和被钉死在 360°。这也解释了为什么边数越多，正多边形看起来越接近圆——那一圈的转身总量是固定的，边越多，每一步就只需要转得越少。