反证法：从「假如不是」开始
要证 P，先假设非 P，推到一个明确的矛盾，于是非 P 站不住。关键在两处：非 P 到底是什么，以及矛盾必须真的来自这个假设。
5 分钟思维方法: 反证
先假设结论不成立，把自己逼进死胡同
这一片为什么存在
证明写到第三行推出了矛盾，老师却在第一行画了个圈。问题不在推理，在那句「假设不是这样」——它把「至少有两个锐角」的反面写成了「一个锐角都没有」。反面一旦写歪，后面每一步算得再对也全部作废。这一片要做的事很小：把「假如不是」这四个字拆开，看清它该怎么写，以及撞出来的墙算不算数。
内容
先看一个不是反证法的东西。有人要证「任意三角形至少有两个锐角」，随手画一个直角三角形，指着那两个 45° 角说「你看，成立」。这只是一个例子。例子能推翻「所有」，但不能证明「所有」。
反证法走的是另一条路：不去正面搭桥，而是把对岸以外的地方全部封死。要证结论 P，先当作 P 是假的，顺着这个假设往下推，一直推到一件不可能的事——比如某个三角形的内角和超过 180°。既然从「非 P」出发必然撞墙，「非 P」就站不住，剩下的只有 P。
这里有两处最容易滑手。
第一，「非 P」到底是什么。「至少有两个锐角」的反面是「至多有一个锐角」，不是「一个锐角都没有」。把「不是所有」读成「所有都不是」，等于只封死了半边，另半边的路还敞着，证明就漏了。
第二，撞的墙必须是假设撞出来的。如果推导中间用错了公式，或者顺手引进了一个本来就自相矛盾的条件，那矛盾是你自己带进去的，跟「非 P」无关。检验办法很朴素：把假设那一句删掉，矛盾还在吗？还在，就说明它不该由假设背锅。
记待证命题为 P。反证法的骨架是：设 ¬P（读作非 P，即 P 不成立），由 ¬P 连同已知条件 H 推出某个 Q 与 ¬Q 同时成立，这就是矛盾，记作 ⊥。既然 ¬P 导致 ⊥，¬P 不可能成立，于是 P 成立。
带量词时要小心两条改写：
¬(∀x)A(x) 等价于 (∃x)¬A(x)；
¬(∃x)A(x) 等价于 (∀x)¬A(x)。
其中 ∀ 读作「对每一个」，∃ 读作「存在一个」，A(x) 是一句关于 x 的话。
还有一条隐含要求：H 自身必须无矛盾。否则单凭 H 就能推出 ⊥，这跟 ¬P 毫无关系，整个证明是空转。
跟着做一遍
证明：任意三角形至少有两个内角是锐角（小于 90°）。动笔前先把「非 P」原原本本写出来，再往下推。
- 写出 P：三个内角中至少有两个小于 90°。
- 写出 ¬P：锐角至多一个，也就是至少有两个角不小于 90°。注意它不是「三个角都不小于 90°」。
- 把这两个角记作 α 和 β，于是 α ≥ 90°，β ≥ 90°，相加得 α + β ≥ 180°。
- 第三个角记作 γ，作为三角形的内角必有 γ > 0°。
- 用先修的内角和：α + β + γ = 180°。
- 代入得 180° = α + β + γ ≥ 180° + γ > 180°，即 180° > 180°，矛盾。
- 检验矛盾的出处：删掉第 2 步的假设，α + β ≥ 180° 就没了，矛盾随之消失，说明它确实由 ¬P 逼出来。
- 故 ¬P 不成立，P 成立。
结果
任意三角形至少有两个锐角。比结论更值得带走的是那两道检查：¬P 写成的是「至多一个锐角」而非「没有锐角」；删掉假设后矛盾就消失，证明这堵墙是假设撞出来的，不是自带的。