弧度制
用『弧长是半径的几倍』来量角，于是角变成一个纯数。正是这件事让 sin x ≈ x 和 (sin x)′ = cos x 成立。
7 分钟思维方法: 换表示
同一个对象换一种写法，难题可能自动变简单
这一片为什么存在
你大概已经用了十年「度」，从来没出过问题。所以第一次见到弧度时，最自然的反应是：这不过是把 180 换成 π，多背一张换算表罢了。
这一片要说的正是：不是。度和弧度不是两把刻度不同的尺子。这个差别在解三角形时完全看不出来，可一旦你开始对 sin 求导、或者把 sin 展开成多项式，它就会以一个丑陋常数因子的形式找上门。我们先把这个因子逼出来，再看它为什么只在弧度下消失。
内容
先问一个更基本的问题：角为什么需要「单位」？
长度需要单位，因为宇宙里没有一根天然的尺。角不一样——你画出一个角，它自己就带来一把尺：以顶点为圆心画个圆，角截下一段弧，而这个圆的半径就是现成的刻度。拿一根和半径一样长的绳子，沿着这段弧铺过去，问它能铺几次。
铺几次这个数，只跟角张开的程度有关。圆画大一圈，弧变长，可半径也同倍变长，铺的次数一分不差。于是这个数是角自己的属性，不掺任何人为约定。这就是弧度。
「度」不是这样来的。360 是巴比伦人挑的，换成 400 也不影响任何几何事实（炮兵的密位就用 6400）。所以写 sin(30°) 时，那个「°」不是装饰，它是一道悄悄执行的换算：1° 截下的弧长是半径的 2π/360 ≈ 0.01745 倍，sin(30°) 实际上是 sin(0.5236)。这也说明 sin 30 和 sin 30° 不是一回事：前者的输入是 30 个半径那么长的弧，已经绕了四圈多，值是 −0.988。
再看为什么这件事对微积分是致命的。单位圆上，θ 就是弧长，sin θ 是这段弧末端离水平轴的高度。角很小时，这截弧几乎是直的、也几乎竖直，弧长与高度的差别只有 θ³ 量级——sin θ ≈ θ，而且两边之比恰好是 1，不多不少。换成度数，同一个角的弧长变成 0.01745x，比值就变成 0.01745，它会一路跟进导数：(sin x°)′ = 0.01745·cos x°。教科书上那句干净的 (sin x)′ = cos x，是弧度买来的。
顺带一句：弧度不必写成 π 的倍数。1 弧度是个正经的角，约 57.3°，你随手画的角多半是 0.7、1.2 这种数。π 出现得频繁，只因为整圈的周长恰好是 2π 个半径——它是圆留下的痕迹，不是弧度的定义。
定义：把角的顶点当作圆心，以任意 r>0 为半径画圆，角的两条边在圆上截出一段弧，长度记作 s。这个角的弧度数就是 θ = s/r。s 是弧长，r 是半径，两者都是长度，相除后量纲抵消，所以 θ 是纯数；写 rad 只是提醒你用了这套约定，它不参与运算。相似形保证 θ 与 r 的选取无关。
整圈时 s = 2πr，故 θ = 2π；半圈 θ = π。由此得换算：π rad = 180°，1° = π/180 rad ≈ 0.01745 rad，1 rad = (180/π)° ≈ 57.2958°。这里 π 仍然只是那个数 3.14159…；成立的是「π 弧度这个角与 180 度这个角是同一个角」，而不是「π = 180」。
回报：弧长 s = rθ、扇形面积 A = r²θ/2，都只在弧度下不带系数。函数 sin: ℝ → [−1,1] 的自变量按约定是弧度数，度数版其实是复合函数 sin_deg(x) = sin(πx/180)。于是 lim(θ→0) (sin θ)/θ = 1，而 lim(x→0) sin_deg(x)/x = π/180；(sin θ)′ = cos θ，而 (sin_deg x)′ = (π/180)·cos_deg x。
跟着做一遍
找一个圆形的东西（杯盖、光盘、罐头底），一根细绳或一条纸边，一把尺，最好再有个量角器。不用计算器，也不查换算表，用它们量出「1 弧度」到底有多大，并顺手把 2π 量出来。
- 把圆形物体描在纸上得到一个圆。量出直径，取一半得到半径 r（比如 r = 4.0 cm），直径的中点就是圆心 O。
- 在绳子上截出长度恰好为 r 的一段，两端做记号。这根绳就是这个圆自带的刻度。
- 把绳的一端按在圆周上任一点 A，让绳沿着圆周弯贴过去（要弯，不能拉直），另一个记号落在圆周上的位置记为 B。此时弧 AB 的长度正好等于 r。
- 连 OA 和 OB。∠AOB 就是 1 弧度——因为它截下的弧是半径的 1 倍。定义到此为止，没有别的内容。
- 用量角器量 ∠AOB，读数应落在 57°–58° 之间。留意：这个最基本的弧度角，完全不是 π 的任何倍数。
- 从 B 起继续用同一段绳往下铺，得到 C、D、…，一路铺满整圈。你会数到铺满 6 次之后还剩一小截，目测约是 r 的 0.28 倍。
- 于是整圈 = 6.28 个半径 ≈ 2π 弧度。π 是量出来的结果，不是事先塞进定义里的。
- 反向验算：360° ÷ 57.3° ≈ 6.28。两条完全不同的路给出同一个数。
结果
1 弧度 ≈ 57.3°，整圈 ≈ 6.28 弧度 = 2π。你没查任何换算表，只靠一根绳子就把角量成了一个纯数：弧是半径的几倍。同时也看清了两件事——弧度可以是 1、可以是剩下那 0.28，写成 π 的倍数只是整圈半圈这些特殊角碰巧好看；而 π 是从圆周上量出来的一个数，从头到尾没有当过角。