数出来：排列与组合
等可能情形下概率就是「数分子、数分母」。难的从来不是公式，是先判断顺序要不要紧。
7 分钟思维方法: 对称
看出对象在某种变换下重复自己，然后只算一半
这一片为什么存在
三个人排队照相，6 种排法。把其中两个换成一对双胞胎，照片上分不出谁是谁——答案立刻变成 3。同一堆人、同一个动作，只因为「哪两张照片算同一张」的标准变了，答案就掉了一半。数数出错，几乎从来不是乘法算错，是没说清什么叫「一个结果」。
内容
点数一堆东西，最笨也最好用的办法是：先用一种更细的方式数一遍，明知会重复；再问每个结果被重复数了几次；最后除掉。
从 5 个人里选 3 个排成一排。第一个位置 5 种填法，剩 4 人，第二个位置 4 种，第三个位置 3 种，共 5×4×3 = 60。这 60 个对象彼此不同，因为每个都写明了谁站第一、谁站第二、谁站第三。
换个问题：从 5 个人里挑 3 个组成一个小组，不排队。{甲,乙,丙} 和 {丙,甲,乙} 是同一个小组。那么在刚才那 60 个里，这个小组出现了几次？甲乙丙三人排成一排有 3! = 6 种，所以它被数了 6 次。别的小组也一样，都是 6 次——「每个都一样」是关键，不然除法没有意义。于是 60 ÷ 6 = 10。
所以 C(5,3) 和 P(5,3) 之间隔着的不是一个记号，是 3! = 6 倍。60 和 10 是两个数。
双胞胎是同一件事换了张脸。A、B、C 全排列有 3! = 6 种；B 和 C 长得一样，于是 ABC 和 ACB 在照片上是同一张，每张照片被数了 2! = 2 次，6 ÷ 2 = 3。有重复元素时不是「照样数」，是数完之后，把你根本分不出来的那些排法除掉。
那「顺序要不要紧」是什么时候定下来的？在你写下样本空间、决定「什么叫一次结果」的那一刻，它就定死了。它不能事后补：分母按有序数、分子按无序数，两边数的压根不是同一种对象，比值不表示任何东西。规矩只有一条——先把一个结果长什么样说死，然后分子分母都照这个标准数。
设有 n 个互不相同的对象。
排列 P(n,k)：从 n 个里取 k 个排成一列的方案数。逐位填：第 1 位 n 种，第 2 位 n−1 种，……，第 k 位 n−k+1 种，故 P(n,k) = n(n−1)…(n−k+1) = n!/(n−k)!。
组合 C(n,k)：从 n 个里取 k 个组成一个子集、不计次序的方案数。同一个 k 元子集内部有 k! 种排法，它们在 P(n,k) 里各被数了一次，故 C(n,k) = P(n,k)/k! = n!/(k!(n−k)!)。这个 k! 就是「被重复数了几次」。
重复元素：n 个对象分成 m 类，第 j 类内部的 n_j 个彼此不可区分，n_1+…+n_m = n。全排列数 = n!/(n_1! n_2! … n_m!)。分子 n! 是假装同类也能分辨时的计数，分母除掉每类内部的 n_j! 种置换。
等可能模型：样本空间 Ω 有限、每个样本点概率相等时，事件 A 的概率 P(A) = |A|/|Ω|，其中 |·| 表示元素个数。硬约束：|A| 与 |Ω| 必须按同一个「什么算一个样本点」的标准数出来。
跟着做一遍
袋子里 3 个红球、2 个白球，除颜色外完全相同。不放回地一次抓出 2 个，求两个都是红球的概率。要求：先用「无序」标准算一遍，再用「有序」标准算一遍，看两次是否一致。
- 先把 5 个球当成可分辨的个体 R1 R2 R3 W1 W2。等可能性靠的是个体，不是颜色——这一步不能省。
- 无序标准：一个结果 = 一个 2 元子集。|Ω| = C(5,2) = 5!/(2!·3!) = 10。
- 两个都红：从 3 个红球里取 2 个，|A| = C(3,2) = 3。得 P = 3/10。
- 有序标准：一个结果 = 一个有先后的球对。|Ω'| = P(5,2) = 5×4 = 20。
- |A'| = P(3,2) = 3×2 = 6，得 P = 6/20 = 3/10。分子分母同时乘了 2!，比值当然不变。
- 故意混用试试：分母取 20（有序）、分子取 3（无序），得 3/20。错——两边数的不是同一种对象。
- 再试一种常见错法：把样本点取成颜色搭配 {红红}、{红白}、{白白}，得 1/3。错——这三种情况本来就不等可能。
结果
P = 3/10。有序、无序两套标准各自都对，但必须从头到尾只用一套；混用得 3/20，拿颜色当样本点得 1/3，两个都错。「顺序要不要紧」不是可以中途改主意的事——它在你写下 |Ω| 的那一刻就已经选定了。