指数函数的导数与 e

先把一个容易滑过去的差别摆正。x³ 里变的是底，指数钉死；2^x 里变的是指数，底钉死。这是两台完全不同的机器。幂法则是给前一台造的，硬套到后一台上，会得到 x·2^(x−1) 这种没有意义的东西。

那第二台机器自己的脾气是什么？是走一步就乘一个固定倍数。从 x 走到 x+h，函数值从 a^x 变成 a^x·a^h。注意 a^h 这个倍数只跟你走了多远有关，跟你从哪里出发完全无关。在 x=0 处走 0.001，和在 x=100 处走 0.001，乘的是同一个数。

把这句话翻译成增量：Δf = a^x·(a^h − 1)。右边明明白白地分成两块。一块是 a^x，也就是你当前站的高度；另一块 (a^h − 1) 只和步长有关。两边除以 h 再让 h 变小，就得到一句话：斜率等于当前高度乘一个只跟底数有关的常数。

这句话值得停一下。它是说，指数函数在任何一点的陡峭程度，都严格正比于它在那一点的高度。爬得越高，爬得越快，而且快与高的比例从头到尾一样。想象一堆分裂中的细胞：翻倍所需的时间是固定的，所以数量越多，每秒新增的个数就越多，新增速度和当前数量成同一个比例。

于是真正不变的东西浮出来了：斜率除以自身。这个比值在整条曲线上是同一个数，把它记成 M(a)。所有指数函数都满足导数等于自己乘 M(a)。剩下的全部问题，只是 M(a) 到底是多少。

它确实随底数变。用计算器粗测一下：M(2) ≈ 0.693，M(3) ≈ 1.099。底越大，每走一步乘的倍数增长越猛，M 也就越大。M(2) 小于 1，M(3) 大于 1，而 M 是随 a 连续变化的。那么在 2 和 3 之间，一定有某个底让 M 恰好等于 1。

这个底就是 e。请注意这个顺序：不是先有 2.718 这个数，再发现它好用；而是先提出我要一个 M 等于 1 的底，再去解出它等于 2.71828…。e 是一个方程的解，小数展开只是这个解的长相。

一旦 M(e)=1，e^x 求导之后原封不动。求导这个操作会把几乎所有函数打乱，唯独在它这里停住。这也就是它在增长、衰减、复利、放射性、微分方程里无处不在的原因：凡是变化速度正比于当前量的东西，它的自然语言就是 e^x。

设 a>0 且 a≠1，f(x)=a^x。这里 a 是底数，x 是自变量。

按导数定义，f′(x)=lim_{h→0}(a^(x+h) − a^x)/h，其中 h 是自变量的增量。

关键一步是指数律 a^(x+h)=a^x·a^h。代入后，a^x 与 h 无关，可以提到极限外面：

f′(x)=a^x·lim_{h→0}(a^h − 1)/h。

右边这个极限式子里已经不含 x，它只由 a 决定。把它记作 M(a)，即 M(a)=lim_{h→0}(a^h − 1)/h。

于是对每个 a 都有 (a^x)′=M(a)·a^x。M(a) 的几何身份是 a^x 在 x=0 处的切线斜率，因为 a^0=1，那里的差商恰好就是 (a^h − 1)/h。

把结论改写成 f′(x)/f(x)=M(a)。左边随 x 变化的一切都消掉了，右边是常数，这就是那个不变量。

现在定义 e：使 M(e)=1 的那个底数。M 在 a>0 上连续且严格递增，且 M(2)<1<M(3)，所以这样的底存在且唯一。代回上式即得 (e^x)′=e^x。

一句提醒：这条只对 e^x 本身成立。对 e^(2x)，令 u=2x，链式法则给出 (e^(2x))′=2·e^(2x)。