导数的定义
让割线的两点越靠越近，割线斜率的极限就是某一点的瞬时变化率，也就是切线斜率。它是一个 0/0 型极限，不是把 Δx 直接写成 0。
12 分钟思维方法: 极限过程
不问到了没有，只问越来越接近什么
这一片为什么存在
平均变化率你已经会算,但它回答不了「此刻有多快」——只给一个时刻,连斜率都算不出来,因为斜率要两个点。这一片处理的就是这个缺口:怎样在不让两点重合的前提下逼出「某一点」的斜率,以及为什么这条路必须绕开 0/0。
内容
想象一张路程—时间图。给你两个时刻,你能算出这段时间的平均速度:纵坐标的差除以横坐标的差。在图上,它就是连接那两点的割线的斜率。这件事你已经会做。
麻烦在于:如果只给你一个时刻呢?「这一瞬间的速度」在图上对应什么?你没法只用一个点算斜率——斜率需要两个点,这是死结。
于是换个问法。不问「一个点的斜率是多少」,而问:当第二个点越来越靠近第一个点时,割线的斜率在往哪儿去?固定 x=1,让另一个点从 1.1、1.01、1.001 一路挤过来。每一次都是两个不同的点,每一次都是一条完全合法的割线,每一次都有一个明明白白的斜率。你不需要那两点重合,你只需要看这一串斜率有没有一个明确的去向。
拿 f(x)=x² 试:1 与 1+Δx 之间的割线斜率是 ((1+Δx)²−1²)/Δx = 2+Δx。Δx 取 0.1 得 2.1,取 0.01 得 2.01,取 −0.001 得 1.999。这串数里没有一个等于 2,但它们要去哪儿毫无悬念。导数就是这个「要去哪儿」,不是「到了哪儿」。
这也就解释了那个最常被跳过的地方:你不能直接令 Δx=0。一旦 Δx=0,分子分母同时变成 0,那个式子不表示任何东西——0/0 不是一个数,不是「等于 0」,也不是「等于 1」。整个定义的重量,全压在「趋近但不到达」这个动作上;后面约掉 Δx 那一步之所以合法,恰恰是因为 Δx≠0。
还有两句要说死。第一,导数是切线的斜率,是一个数,不是那条切线本身——切线是一条直线,需要一个点加一个斜率才画得出来,导数只提供其中的斜率。第二,它是绑在某一个点上的数:f′(1) 和 f′(3) 完全可以不同。平时说的「这个函数的导数」,是把每个点上的那个数收集起来得到的一个新函数,而不是整条曲线共用一个斜率。
设 f 在 a 的某个邻域内有定义。取一个非零增量 Δx,构造差商
( f(a+Δx) − f(a) ) / Δx。
分子是函数值的改变量 Δy,分母是自变量的改变量 Δx;这个比值正是过 (a, f(a)) 与 (a+Δx, f(a+Δx)) 两点的割线斜率。
导数定义为该差商在 Δx→0 时的极限:
f′(a) = lim(Δx→0) [ f(a+Δx) − f(a) ] / Δx。
逐个交代符号:a 是事先取定的那一点,整个式子算完只给出一个数,这个数属于 a;Δx 是变量,它取遍 0 附近的所有非零值,永远不等于 0;lim 读作「当 Δx 任意接近 0 时,差商任意接近的那个数」,它只由 Δx≠0 处的取值决定,与差商在 Δx=0 处的值无关——那里根本没有值。若这个极限存在,就称 f 在 a 处可导,f′(a) 即曲线在点 (a, f(a)) 处切线的斜率。
等价写法:令 x = a+Δx,则
f′(a) = lim(x→a) ( f(x) − f(a) ) / ( x − a )。
Δx 从正、负两侧靠近必须给出同一个极限值,才算可导。
跟着做一遍
只用定义,不许用任何求导公式:算 f(x)=x² 在 x=3 处的导数。算完把 3 换成 −1 和 0 再各做一遍,然后对照三处的函数值和导数值。
- 写下 a=3 处的差商:[ f(3+Δx) − f(3) ] / Δx = [ (3+Δx)² − 9 ] / Δx。
- 展开分子:(9 + 6Δx + Δx²) − 9 = 6Δx + Δx²。差商成为 (6Δx + Δx²) / Δx。
- 停一下:此刻还不能约分,除非你能确认 Δx≠0。而极限过程里 Δx 恰恰只取非零值,所以约分合法,得 6 + Δx。
- 让 Δx→0:6 + Δx 可以任意接近 6(且不必等于 6),故 f′(3) = 6。
- 换 a=−1 重做:[ (−1+Δx)² − 1 ] / Δx = (−2Δx + Δx²) / Δx = −2 + Δx → −2,即 f′(−1) = −2。
- 换 a=0 重做:[ (0+Δx)² − 0 ] / Δx = Δx² / Δx = Δx → 0,即 f′(0) = 0。
- 对照:f(3)=9 配 f′(3)=6;f(−1)=1 配 f′(−1)=−2;f(0)=0 配 f′(0)=0。注意 f(−1)=1 比 f(0)=0 大,而 f′(−1)=−2 却比 f′(0)=0 小——函数值的高低与导数的大小是两回事。
- 回头检查第 3 步:若一开始就令 Δx=0,你写下的是 0/0,后面每一步都不成立。约分那一步是整道题唯一用到「Δx 不为零」的地方,也是它必须成立的地方。
结果
f′(3)=6,f′(−1)=−2,f′(0)=0。曲线 y=x² 在 (3,9) 处的切线斜率是 6,在 (−1,1) 处是 −2,在 (0,0) 处是 0。三个数各属于各自的点;每一个都是斜率这个数,而不是那条切线。