正弦与余弦的导数

先别算，先看图。

把 sin x 的图像画出来，然后沿着曲线走一遍，每到一点就问一句：这里的坡度是多少？

在 x = 0 处，曲线正往上冲，坡度最大。到 x = π/2，曲线爬到顶，坡度变成 0。再往后曲线开始下降，坡度变负，在 x = π 处降得最快。过了 3π/2，坡度回到 0，然后重新变正。

把这串坡度按顺序排出来：最大、0、最负、0、最大。这个形状你见过——它就是 cos x。所以「sin 的导数是 cos」这件事，光看图就能猜到八九分。

但图只能告诉你形状，告诉不了你高度。

坡度曲线的最大值到底是 1，还是 57.3，还是 0.01745？形状对了不等于系数对了。误解常常就藏在这里：因为两条曲线长得一样，就以为 sin 的导数还是 sin；或者以为换成角度制，结论照抄不误。

系数由原点那一点决定。在 x = 0 附近，sin x 的图像几乎就是一条直线，这条直线的斜率就是我们要的系数。而它等于多少，完全取决于横轴上一个单位代表多大的角。

横轴用弧度：sin(0.001) ≈ 0.001，斜率是 1。
横轴用角度：sin(1°) ≈ 0.01745，斜率是 0.01745。

同一条曲线，只因为横轴的刻度换了，导数就差了五十多倍。弧度制不是一种更专业的写法，它是让这个系数恰好等于 1 的那个刻度选择。这也是为什么微积分书从这一章起就再不用度数了。

剩下的工作，是把「原点处斜率为 1」推广到任意一点。

手法很朴素。麻烦在于 sin(x+h) 里的 x 和 h 缠在一起，h 没法单独趋于 0。那就把它们拆开——和角公式正好干这件事。拆完之后，陌生的差商变成了两个你已经算过的极限的组合，新问题就退回成了旧问题。

从导数定义出发。设 f(x) = sin x，差商是

[sin(x+h) − sin x] / h。

这里 x 是求导的位置，在整个极限过程中固定不动；h 是趋于 0 的增量；所有角一律以弧度计。

用和角公式 sin(x+h) = sin x cos h + cos x sin h 展开分子：

sin x cos h + cos x sin h − sin x = sin x (cos h − 1) + cos x sin h。

除以 h，差商就拆成两项：

sin x · (cos h − 1)/h + cos x · (sin h)/h。

关键在于 sin x 与 cos x 里不含 h。对这个极限而言它们是常数，可以提到极限号外面。剩下的两个极限只跟 h 有关：

lim(h→0) (sin h)/h = 1，
lim(h→0) (cos h − 1)/h = 0。

第一个就是先修里的那个特殊极限，它的成立本身就依赖弧度制；第二个可以由它推出。代回去：

(sin x)′ = sin x · 0 + cos x · 1 = cos x。

余弦同理。用 cos(x+h) = cos x cos h − sin x sin h 展开，同样的两个极限，得到

(cos x)′ = cos x · 0 − sin x · 1 = −sin x。

那个负号来自展开式里本来就有的减号，不是可以随手省掉的。它的几何含义是：cos 从最高点 1 出发，一开始就在往下走，导数当然是负的。