泰勒级数
把线性近似继续做下去：用各阶导数在一点的值造出一串多项式，越加越贴合原函数。eˣ、sin x 因此都能写成多项式的极限。
10 分钟思维方法: 换表示
同一个对象换一种写法，难题可能自动变简单
这一片为什么存在
你按计算器算 sin 1，机器其实并不会算正弦——它只会加、减、乘、除。这一片要回答的是：只有四则运算，怎么把 e、sin、ln 的值算出来。切线近似已经给了第一步答案，但它只在一点附近管用。泰勒级数就是把那一步一直做下去得到的东西，以及为此要付的代价。
内容
先看你已经会的那一步。在 a 点给 f 作切线，得到 f(a)+f′(a)(x−a)。这条直线做对了两件事：在 a 点取的值和 f 一样，在 a 点的斜率也和 f 一样。它错在哪儿？它不知道 f 在弯。sin x 在 0 附近是往下弯的，而 y=x 一直笔直往上走，所以 x 稍微大一点，误差就撑不住了。
补救的想法很朴素：既然差在弯，就再加一项，让新的多项式在 a 点的二阶导数也和 f 对上。对完二阶你会发现还差三阶，那就再加一项。每加一项，你就多交出函数在 a 这一点的一条信息。泰勒的全部动机就在这里——把“f 在 a 处的第 n 阶导数”一条条塞进多项式里，塞到你满意为止。
那为什么第 n 项长成 f⁽ⁿ⁾(a)/n!·(x−a)ⁿ，n! 是从哪冒出来的？它不是凑的，是解出来的。(x−a)ⁿ 求 n 次导恰好得到 n!，求不满 n 次时在 x=a 处为 0，求超过 n 次就直接变成 0。所以除掉 n! 之后，每一项只负责它自己那一阶导数，完全不打扰前面已经对好的部分。你想让第 n 阶导对上，系数就只能是这个值。
到这里有个特别容易滑过去的坑。你造出来的其实是一串多项式 P₁, P₂, P₃, …，每一个都只是在 a 附近像 f。让项数趋于无穷得到的级数，是这串多项式的极限，不是 f 换了个写法。它可能只在某个半径内收敛；也可能处处收敛，但收敛到的东西并不是 f。“级数等于原函数”是要证的结论，不是定义白送的。
还有一件事：展开点 a 是这套东西的地基。所有系数只用到 f 在 a 这一点的信息，所以近似好不好，是按“离 a 有多远”来算的，不是只按“取了多少项”来算的。ln x 在 x=1 处展开很自然，在 x=0 处则根本无从下手，因为 ln 在那里连值都没有。
最后说说为什么值得这么折腾。多项式是我们唯一真正会算的函数：加、减、乘，外加一个除。把 eˣ 换成 1+x+x²/2+x³/6+… 之后，“求 e 的值”就变成“把几个分数加起来”。换来的好处不止算数值：想知道 x→0 时两个函数谁跑得快，比一下各自第一个不为零的项就够了；想求 sin x / x 在 0 处的极限，把分子换成级数、约掉一个 x，答案是 1，一眼就看见。函数一点没变，变的是你手上的表示。
设 f 在 a 的某个邻域上有任意阶导数。f 在 a 处的 n 阶泰勒多项式定义为 Pₙ(x) = Σ(k=0..n) f⁽ᵏ⁾(a)/k! ·(x−a)ᵏ。
符号逐个交代：f⁽ᵏ⁾(a) 是 f 的 k 阶导数在 a 处取的值，它是一个数，不是函数；k! 是 k 的阶乘；(x−a)ᵏ 表示所有信息都相对展开点 a 记录；约定 0!=1、f⁽⁰⁾=f，所以 k=0 那一项就是 f(a)。
把上限 n 换成 ∞，得到 f 在 a 处的泰勒级数 Σ(k=0..∞) f⁽ᵏ⁾(a)/k! ·(x−a)ᵏ；a=0 时习惯称它为麦克劳林级数。
两者不是一回事。Pₙ 是有限和，对任何 x 都算得出值；级数是部分和序列 Pₙ(x) 的极限，只在收敛的那些 x 上才有值，范围大小由收敛半径 R 描述。
把它们连起来的是余项 Rₙ(x) = f(x) − Pₙ(x)。拉格朗日形式说：存在夹在 a 与 x 之间的某个 ξ，使 Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! ·(x−a)ⁿ⁺¹。
于是“级数在 x 处收敛到 f(x)”等价于该点的 Rₙ(x)→0。收敛半径管的是级数有没有值，余项管的是那个值到底是不是 f。
跟着做一遍
不查表、不按计算器上的 sin 键，只用加减乘除算出 sin 0.5；并且在核对真值之前就说清楚：你的答案能保证精确到第几位小数？
- 在 a=0 展开。sin 的导数是循环的：sin→cos→−sin→−cos→sin，在 0 处依次取值 0, 1, 0, −1，然后重复。
- 代进系数 f⁽ᵏ⁾(0)/k!：偶数阶导数在 0 处全是 0，于是偶次项整体消失，只剩奇次项，系数为 ±1/k!。写到五次：P₅(x) = x − x³/6 + x⁵/120。
- 取 x=0.5，先把幂算出来：x=0.5，x³=0.125，x⁵=0.03125。
- 相加：0.5 − 0.125/6 + 0.03125/120 = 0.5 − 0.0208333 + 0.0002604 = 0.4794271。
- 现在卡误差，用拉格朗日余项：R₅(0.5) = f⁽⁶⁾(ξ)/6! ·0.5⁶，其中 f⁽⁶⁾ = −sin，而不管 ξ 是多少都有 |−sin ξ| ≤ 1。
- 所以 |R₅(0.5)| ≤ 0.5⁶/720 = 0.015625/720 ≈ 2.2×10⁻⁵。这一步才是关键：你在还不知道真值的时候，就已经知道自己最多错多少。
- 再去对真值 sin 0.5 = 0.4794255…，实际误差约 1.5×10⁻⁶，确实落在刚才的上界之内。
- 换展开点重做一遍：在 a=π/2 展开，记 h = x−π/2 = −1.0708，同样只保留三个非零项，得 1 − h²/2 + h⁴/24 ≈ 0.48148，误差约 2×10⁻³。同一个函数、同样的项数，只因为展开点离 0.5 更远，误差就差了三个数量级。
结果
P₅(0.5)=0.4794271，事先给出的误差上界 2.2×10⁻⁵，实际误差 1.5×10⁻⁶，真值 0.4794255。只用加减乘除就把正弦算了出来，而且知道自己错在什么范围内。而在 π/2 处展开、项数完全相同时误差约 2×10⁻³：精度由“离展开点多远”和“取了几项”共同决定，多取几项救不了一个选错的展开点。