平均变化率
曲线上两点连线（割线）的斜率，就是这一段区间上的平均变化率。它是从『直线的斜率』通往『瞬时变化率』的唯一入口。
9 分钟思维方法: 化归
把没见过的问题变形成见过的问题
这一片为什么存在
你会算直线的斜率，可一遇到曲线就卡住：这里的变化率到底是多少？麻烦在于曲线上每一点的陡峭程度都不一样，直接问『变化率』是个没有答案的问题。这一片教你把它换成一个有答案的问题——问某一段区间上的变化率。这一换不是妥协，是后面整个微积分的立足点。
内容
想象你骑车上山，全程 12 公里，用了 1 小时。有人问你骑多快，你能诚实回答的只有一句：平均 12 公里每小时。至于第 3 公里那段陡坡上你有多慢、下坡那几百米你有多快，这个数字全都不知道，它被抹平了。
这正是平均变化率的全部含义：它只看两个端点，中间发生什么一概不问。把函数图像画出来，取区间左右两端对应的两个点，用直尺把它们连起来——这条线叫割线。割线的斜率，就是这段区间上的平均变化率。
为什么可以这样偷懒？因为斜率你已经会算了。曲线上『变化率』这个词本来没有定义：每一点的陡峭程度都不同，你无从下手。但两点之间连一条直线，问题立刻退回你熟悉的地方——纵向变了多少，除以横向变了多少。微积分的第一步就是这次化归：不去硬碰硬地定义曲线的变化率，而是先造一条直线，让直线替曲线回答。
代价要看清楚。抹平意味着信息丢失：一段路平均速度是 0，可能是你原地没动，也可能是你走出去又原路走了回来。同样，两个端点的函数值相等，平均变化率就是 0，但中间它可以先涨后跌翻好几个来回。还有：把两段路的平均速度直接平均，通常得不到全程的平均速度——慢的那段占用的时间更长，在全程里的分量更重。
也别以为区间越短这个数就越小。区间变短只是问的范围变窄，问到的可能恰好是最陡的那一段，值反而更大。
记住割线这个画面。后面把两个端点越挪越近、割线慢慢转成切线的时候，你手里握着的还是同一个式子。
设函数 f 在区间 [a, b] 上有定义，且 a < b。f 在 [a, b] 上的平均变化率定义为 (f(b) - f(a)) / (b - a)。
逐个交代符号：a 与 b 是区间的两个端点，它们是自变量的取值，不是函数值；f(a) 与 f(b) 是这两处的函数值；分子 f(b) - f(a) 记作 Δy，是函数值的净变化量，可正可负也可为零；分母 b - a 记作 Δx，因为 a < b 所以恒为正，是自变量走过的长度。整个式子常写成 Δy / Δx，读作『x 每变化一个单位，y 平均变化多少』。
单位不要丢：若 x 以秒计、y 以米计，这个商的单位就是米每秒。几何上，(a, f(a)) 与 (b, f(b)) 是图像上的两点，Δy / Δx 正是过这两点的割线的斜率。
退化检验：若 f(x) = kx + m 是一次函数，则 (f(b) - f(a)) / (b - a) = k，与区间怎么取无关。平均变化率在直线上退回成你已知的斜率——新定义是旧定义的推广，不是替换。
跟着做一遍
取 f(x) = x^2。只用 (f(b) - f(a)) / (b - a) 这一个式子，依次回答四问：(1) 它在 [1, 3] 上的平均变化率是多少，与 f(1)、f(3) 的算术平均相同吗？(2) 换成更短的区间 [2, 3]，值变小了吗？(3) 在 [-2, 2] 上算出的 0，是否意味着 f 在这段上不变？(4) [1, 2] 与 [2, 5] 上的两个值，能直接平均成 [1, 5] 上的值吗？纸笔即可，三分钟。
- 区间 [1, 3]：f(1) = 1，f(3) = 9，代入得 (9 - 1) / (3 - 1) = 4。
- 把两个函数值直接平均：(1 + 9) / 2 = 5。5 ≠ 4，可见平均变化率不是函数值的平均——它是差商，分母是自变量的跨度。
- 缩短到 [2, 3]：(9 - 4) / (3 - 2) = 5。区间变小了，值反而变大，因为这半段本来就更陡。
- 换到对称区间 [-2, 2]：(4 - 4) / (2 - (-2)) = 0。但 f(0) = 0 而 f(2) = 4，f 在这段上根本不是常数，0 只说明净变化为 0。
- 分段：[1, 2] 上是 (4 - 1) / 1 = 3，[2, 5] 上是 (25 - 4) / 3 = 7，直接平均得 5。
- 整段：[1, 5] 上是 (25 - 1) / 4 = 6。6 ≠ 5，直接平均是错的。
- 看出原因：6 = (3 × 1 + 7 × 3) / 4，各段要按自己的区间长度加权。长度相等时算术平均才碰巧成立。
- 退化检验：g(x) = 3x - 1 在 [1, 5] 上是 ((3×5 - 1) - (3×1 - 1)) / (5 - 1) = 3，就是它的斜率。
结果
[1, 3] 上平均变化率为 4，而端点函数值的算术平均是 5，二者是不同的东西。子区间 [2, 3] 上是 5，比全区间的 4 更大，所以区间缩短不保证值变小。[-2, 2] 上为 0，但 f 在其上不是常数，0 只锁定净变化。分段的值必须按区间长度加权才拼得回全程：3 与 7 加权得 6，正是 [1, 5] 上的值，而算术平均 5 是错的。