函数与 f(x) 记号

先别管定义。把 f 想成一张写着做法的卡片。卡片上真正写的不是 f(x) = x² + 3，而是：

f(□) = □² + 3

括号不是乘号，是投料口。你往口里放什么，右边每一个 □ 就整个变成什么。放 2，得 2² + 3；放 4，得 4² + 3；放 2x，右边是 (2x)² + 3——注意那对括号是跟着输入一起进去的，不能丢；放 x+1，右边是 (x+1)² + 3。

这一步做对了，两类最常见的错就自动没了。f(2x) 不是「把 f(x) 乘 2」，因为 2 是从投料口进去的，不是乘在机器外面的；f(x+1) 也不是「把答案加 1」，因为那个 1 是和 x 捆在一起被吃进去的。机器只认它吃进去的一整块东西，不认这块东西内部长什么样。

还有一点值得现在就说清楚：机器不一定要长成公式。一张表（学号 → 姓名）、一条画在纸上的曲线、甚至一句口头规则「查这个学号对应的姓名」，都可以是函数。定义域里的每个输入有没有一个确定的输出，这才是标准；能不能写成 x² + 3 这种样子，和它是不是函数无关。

唯一的硬要求是：同一个输入，永远吐出同一个输出。一次投料出两个产品的东西不叫函数——这就是为什么 √9 只等于 3，不等于 ±3。如果 √ 两个都要，它就当不成函数了。

现在把话说严格。

一个函数由三样东西定下来：一个定义域 D（允许投进去的东西的集合）、一个容纳输出的集合，以及一条对应关系 f，使得对每一个 x ∈ D，恰好有一个值与之对应，这个值记作 f(x)。

符号逐个交代：

- f 是函数本身，是那台机器、那条规则。它不是数，不能参与乘法。
- x 是自变量，是这一次投进去的那个具体对象。它是数。
- f(x) 是 f 作用在 x 上得到的输出值，它是数。读作「f 在 x 处的值」，不读作「f 乘 x」。
- y = f(x) 只是给输出起个名字 y，并声明它由 x 经 f 决定。

三条直接的推论：

1. x 只是个占位名。f(x) = x² + 3 与 f(t) = t² + 3 是同一个函数。真正带信息的是 f(□) = □² + 3 这个模式。
2. 代入 = 把整个输入原样填进每一个 □。所以 f(2x) = (2x)² + 3 = 4x² + 3，而 2f(x) = 2x² + 6；f(x+1) = (x+1)² + 3 = x² + 2x + 4，而 f(x) + 1 = x² + 4。前者比后者多出来的是 2x，不是 1。
3. 「恰好有一个」是定义里最硬的一条。画成图就是垂直线检验：任何一条竖直线与函数图像至多交于一点。x² + y² = 1 画出来是圆，竖线交两次，所以它不是「y 关于 x 的函数」——但它仍然是一条完全合法的曲线，只是不能被写成 y = f(x)。

定义里没有任何一个字要求 f 写得出公式。表格、图像、算法都算数。