随机变量：把结果映成数

先把随机的和不随机的拆开。

掷两颗骰子，真正随机的是落地那一瞬：36 种有序结果，(1,1) 到 (6,6)，每种 1/36。这一层概率公理已经管好了，不需要新东西。

可我们几乎从不关心「是哪一对」，关心的是从这一对里算出来的某个数：和、差、最大值、是否相等。「点数和」就是一条规则——给它 (2,5)，它还你 7；给它 (3,4)，它还是还你 7。这条规则里没有半点随机性，它是一台确定的机器。随机的是喂进去的东西，不是机器本身。

随机变量就是这台机器：把结果翻译成数。它是函数，不是数。X = 7 这个写法容易骗人，它看起来在说 X 等于 7，其实它在说「所有被翻译成 7 的结果」——(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，六个。

这样看，分布就自动出现了。机器把 36 个结果按输出值分成 11 堆：翻译成 2 的那堆里有 1 个，翻译成 7 的那堆里有 6 个。每堆各自多大，就是分布。取值范围只说有 11 堆，分布还要说每堆多重。

于是开头那个 1/11 有了名字：它把「堆的个数」当成了「堆的大小」。11 堆确实都非空，但它们从 1 个到 6 个不等，中间那堆是两端的六倍。

换表示的力气也在这里。原来的问题活在 36 个有序对上，那里根本没有「和」这个东西可算。搬到数轴上以后，每个点带着一个重量，期望、方差、画图才有地方落脚。

设样本空间为 Ω，它的元素 ω 是一次试验的一个结果；概率 P 给 Ω 的子集赋值。

随机变量是一个函数 X: Ω → ℝ。定义域是 Ω，取值落在实数里。掷两颗骰子时 Ω = {(a,b) : a, b ∈ {1,…,6}}，而 X((a,b)) = a + b。

记号 {X = x} 是个简写，它指的是集合 {ω ∈ Ω : X(ω) = x}，即所有被 X 送到 x 的结果。它是 Ω 的子集，也就是一个事件。只有事件才有概率，所以 P(X = x) 合法，而单写 P(x) 不合法。

分布是函数 p(x) = P(X = x)，给 X 的每个可能取值各配一个数。它满足两条：每个 p(x) ≥ 0；所有 p(x) 相加等于 1。第二条来自那些集合两两不交、并起来正好是 Ω。

三样东西各住各的地方：ω 住在 Ω 里，x 住在 ℝ 里，p(x) 住在 [0,1] 里。把 x 和 p(x) 写成同一列，是最常见的塌陷。