期望：按概率加权的平均

先不碰公式，先问「平均」这个词在日常里究竟指什么。说一个班平均身高 168 厘米，意思是把每个人的身高加起来，再摊到每个人头上。要害在「每个人」：某个身高值被数进去几次，取决于有几个人正好是那个身高。班里 1.90 米的只有一个，这个数就只被写一次；1.68 米的有十个，这个数就被写十次。

彩票的三种结果也一样，只是「人数」换成了「次数」。设想你把一千万张彩票都买下来，中头奖的大概只有一张，什么都没中的有九百多万张。「0」这个结果在账本上被写了九百多万遍，「500 万」只被写了一遍。真照账本摊，总收益除以一千万，得到的是几块钱量级的数，离 166 万差着十万八千里。一比一地平均那三个数，等于假装它们一样常见——而它们的常见程度差着几百万倍。

所以正确的动作是：先按各自出现的多少把结果堆起来，再摊平。这一步的实质，是把「一次说不准的抽奖」换成「一大本写死的账」。说不准的东西没法算，一本写满数字的账人人都会算——这正是我们唯一真正会做的那种平均。

摊平之后的那个数，是每一次分摊到的份额。它不必是账本里出现过的任何一个数字，就像 2.4 个孩子不是任何一家的孩子数。它也只管份额，并不承诺你玩几次之后就会稳稳落在它附近。

现在把它写成符号。设随机变量 X 只有有限个可能取值，记作 x₁, x₂, …, xₙ；X 取到 xᵢ 的概率记作 pᵢ，即 pᵢ = P(X = xᵢ)。每个 pᵢ 都非负，且 p₁ + p₂ + … + pₙ = 1，这正是「把所有情况摊完，不多不少」。X 的期望定义为

E[X] = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ = Σ xᵢ pᵢ（i 从 1 加到 n）。

E 取自 expectation，方括号里放的是随机变量本身，不是一个数；求和号跑遍全部 n 个可能取值，每一项都是「这个取值」乘上「它该占的分量」。

当所有 pᵢ 都等于 1/n 时，右边化成 (x₁ + … + xₙ)/n，就是算术平均。算术平均不是另一回事，它只是权重恰好相等的那种特例。