求和记号与有限和

把 Σ 当成一台装配线，而不是一个新的数学对象。你给它三样东西：从哪个数开始、到哪个数结束、每一步该造出什么。它就照做，然后把造出来的全部加起来。

Σ_{k=1}^{5} k² 的读法是：让 k 依次取 1,2,3,4,5，每次算 k²，最后把这五个结果加起来——1+4+9+16+25。就这样，没有别的含义。

这台装配线有三件事值得先讲清楚，因为它们是后面几乎所有错误的源头。

第一，k 是循环计数器，不是一个量。它在 Σ 内部逐个取值，出了求和号就什么都不是。写「Σ_{k=1}^{n} k² 于是 k 等于……」是没有意义的，就像 for 循环结束之后还去引用循环变量。也正因为它没有身份，你可以随便给它改名：Σ_{k=1}^{n} a_k 和 Σ_{j=1}^{n} a_j 是同一个数。

第二，数项数要真的去数，别凭感觉做减法。从 3 到 7 有几个数？3,4,5,6,7——五个，是 7-3+1，不是 7-3。同理从 1 加到 n 是 n 项，不是 n-1 项。这个 +1 是求和记号里最高频的翻车点，尤其在你刚做完指标平移之后。

第三，常数也要被造 n 次。Σ_{k=1}^{n} 7 的通项根本不含 k，但流水线照样跑了 n 圈，每圈吐出一个 7，结果是 7n，不是 7。「把常数提出来」提的是乘法因子（Σ 3k = 3Σ k），不是把整项搬到求和号外面了事。

那么什么能拆、什么不能拆？能拆的只有加法结构，因为求和本身就是加法：Σ(a_k + b_k) = Σ a_k + Σ b_k，交换律和结合律允许你随意重排括号。乘法拆不了。想一眼看穿，把 n=2 展开：
(a₁+a₂)(b₁+b₂) = a₁b₁ + a₁b₂ + a₂b₁ + a₂b₂，四项；
Σ a_k b_k = a₁b₁ + a₂b₂，两项。
右边少了两个交叉项。和的乘积比乘积的和多出来的，正是这些交叉项——这个差额之后会在方差、柯西不等式里反复出现，不是巧合。

一条分界线记住就够了：Σ 对加法和数乘是透明的，对其他一切都不是。

定义。设 m ≤ n 为整数，a_k 对每个整数 k 有定义，则
Σ_{k=m}^{n} a_k = a_m + a_{m+1} + … + a_n。

符号逐个交代：Σ 是求和号；k 是求和指标，也叫哑变量，只在求和号的作用范围内存在；m 是下界，即 k 的起始值；n 是上界，即 k 的终止值；a_k 是通项，即第 k 步造出的那个数。项数为 n - m + 1。约定：当 m > n 时该式为空和，取值 0。

运算法则（全部只是加法交换律与结合律的换装）：
· 线性：Σ_{k=m}^{n}(αa_k + βb_k) = α·Σ_{k=m}^{n} a_k + β·Σ_{k=m}^{n} b_k，其中 α、β 不含 k。
· 常数：Σ_{k=m}^{n} c = (n - m + 1)·c。
· 区间可加：Σ_{k=m}^{n} = Σ_{k=m}^{p} + Σ_{k=p+1}^{n}，m ≤ p < n。
· 改名：Σ_{k=m}^{n} a_k = Σ_{j=m}^{n} a_j。
· 平移指标：Σ_{k=m}^{n} a_k = Σ_{j=0}^{n-m} a_{j+m}。

三个常用闭式（都可以用数学归纳法验证）：
Σ_{k=1}^{n} k = n(n+1)/2
Σ_{k=1}^{n} k² = n(n+1)(2n+1)/6
Σ_{k=0}^{n} r^k = (r^{n+1} - 1)/(r - 1)，r ≠ 1。