概率的三条底线与对立事件
概率只服从三条规则，而它们已经足够挡掉大部分错误：非负、总和为 1、互斥可加。对立事件是这三条的第一个红利。
6 分钟思维方法: 不变量
找一个怎么变都不变的量，用它锁死结论
这一片为什么存在
一份预报说：明天晴 30%、雨 70%、雪 40%，三种情况互斥，且必有其一。单看每个数字都不离谱，加起来却是 1.4。错的不是某一条，而是这三条摆在一起就已经不合法——而这一点不需要任何气象知识就能判定。你要的是那把尺子。
内容
把概率想成一整袋沙子，重量恰好是 1，你要把它撒到样本空间的各个结果上。三条底线其实就是这袋沙子的三句常识。第一，任何一块地上的沙子不会是负重量。第二，全部撒完，总重仍是 1，不多不少。第三，两块不相交的地，合起来的沙重就是各自沙重相加。这里真正干活的是「总重恒为 1」这个不变量：它怎么撒都不变，于是任何一组概率只要加起来超过 1，不用检查细节就已经错了。对立事件正是这条的第一个红利。A 发生和 A 不发生，把整袋沙子切成两块不相交、又刚好铺满全场的地。既然两块之和恒等于 1，知道一块就等于知道另一块，不必把另一块重新数一遍。这也划出了第三条的边界：可加只对不相交成立。若两块地重叠，直接相加会把重叠处的沙子数两遍，和自然可能冲破 1。
设 Ω 是样本空间，即一次试验所有可能结果的集合；事件 A 是 Ω 的子集；P 是给事件赋一个数的函数。三条公理：非负性，P(A) ≥ 0；规范性，P(Ω) = 1；互斥可加性，若 A ∩ B = ∅ 则 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。这里 ∩ 表示两者同时发生，∅ 是空事件（不可能发生），∪ 表示至少一个发生。记 Aᶜ 为 Ω 中不属于 A 的部分，称 A 的对立事件，即 A 不发生。由 A ∩ Aᶜ = ∅ 且 A ∪ Aᶜ = Ω，第三条给出 P(A) + P(Aᶜ) = P(Ω)，再用第二条即得 P(Aᶜ) = 1 − P(A)。
跟着做一遍
掷两颗骰子。有人说「至少出现一个 6」的概率是 1/6 + 1/6 = 1/3。请用三条公理判断这个说法，并算出正确答案。
- 写下样本空间：两颗骰子按顺序记录，Ω 共有 6 × 6 = 36 个等可能结果，每个结果概率 1/36。
- 看清那个说法用了哪条：它把「第一颗是 6」和「第二颗是 6」的概率直接相加。
- 但这两个事件不互斥，(6, 6) 同时属于两者。可加性不适用，1/3 把 (6, 6) 数了两遍。
- 改从对立事件下手：设 A 为至少一个 6，则 Aᶜ 为两颗都不是 6。
- 数 Aᶜ：每颗有 5 种非 6 的取值，共 5 × 5 = 25 个结果，所以 P(Aᶜ) = 25/36。
- 用红利公式：P(A) = 1 − P(Aᶜ) = 1 − 25/36 = 11/36。
- 回头验算：1/3 = 12/36，正好比 11/36 多 1/36，那就是被数了两遍的 (6, 6)。
- 最后做体检：11/36 + 25/36 = 1，两块沙子合起来仍是整袋。
结果
P(至少一个 6) = 11/36 ≈ 0.306，不是 1/3。错处不在算术，而在把非互斥事件当互斥来加。而正确答案是从对立的那一侧数出来的：25 个结果比 11 个好数。总重恒为 1 这个不变量既挡下了错答案，也顺手给出了检查手段。