平移伸缩与奇偶性
f(x)+c 上下移、f(x+c) 左右移、-f(x) 与 f(-x) 是两种不同的翻折。对翻折岿然不动的函数，就是偶函数与奇函数。
12 分钟思维方法: 对称
看出对象在某种变换下重复自己，然后只算一半
这一片为什么存在
你已经会画 y=x² 了。可 y=−(x+2)²+1 一出现，很多人又回去列表格描点。这一片要换掉这个习惯：把新函数看成老函数被搬动的结果。顺带处理那个几乎人人栽过的坑——f(x+2) 到底往哪边动。
内容
先说搬动。图像是一堆点，变换问的是：原来在某处的那个特征，现在得站在哪里才能看到？
f(x)+2 改的是输出：算完 f 再加 2，每个点被抬高 2，图像整体上移。这一步符合直觉。
f(x+2) 改的是输入：先把 x 加 2 再喂给 f。要让 f 收到的还是 0（也就是看到老图像在 0 处的样子），你得站在 x=−2。特征跑到了左边。所以内部的 +2 是左移，不是右移。一句话记法：外部作用在 y 上，方向与符号一致；内部作用在 x 上，方向与符号相反——因为你是在补偿输入，不是在推动输入。
伸缩同理。3f(x) 把每个输出乘 3，竖直拉长；f(3x) 让 x 只走三分之一的路就取到原来的值，图像横向压扁成 1/3。
再说两种翻折。−f(x) 是输出取反，图像绕 x 轴上下翻；f(−x) 是输入取反，图像绕 y 轴左右翻。改的东西不同，一般结果也不同。
现在把翻折反过来问：有没有函数翻了等于没翻？
满足 f(−x)=f(x) 的函数，左右翻折后与自己重合，图像关于 y 轴对称——偶函数。满足 f(−x)=−f(x) 的函数，左右翻一次、再上下翻一次才回到自己，合起来等价于绕原点转 180°——奇函数，它的对称中心是原点，不是 y 轴。这两件事经常被写成同一件，其实差一次上下翻。
两个提醒。第一，奇偶说的是这种对称性，跟多项式的次数不是一回事：x²+x 次数为偶，但它既不是偶函数也不是奇函数。第二，绝大多数函数两样都不沾——奇和偶是很强的条件，碰上是运气，不是常态。它们值钱正是因为稀有：一旦确认对称，右半边的信息就白送给你左半边，计算量直接减半。
设 f 的定义域关于原点对称（x 在定义域内则 −x 也在），c>0，a>0，t 表示定义域中任一点。
· g(x)=f(x)+c：点 (t, f(t)) 变为 (t, f(t)+c)，上移 c；写成 f(x)−c 则下移 c。
· g(x)=f(x+c)：由 g(t−c)=f(t)，老图像在 t 处的点搬到 t−c，左移 c；f(x−c) 右移 c。
· g(x)=a·f(x)：纵坐标乘 a，竖直伸长 a 倍（a<1 时为压缩）。
· g(x)=f(ax)：由 g(t/a)=f(t)，横坐标除以 a，横向压缩为原来的 1/a。
· g(x)=−f(x)：关于 x 轴翻折；g(x)=f(−x)：关于 y 轴翻折。
定义：若对定义域内所有 x 都有 f(−x)=f(x)，称 f 为偶函数，图像关于 y 轴对称；若都有 f(−x)=−f(x)，称 f 为奇函数，图像关于原点中心对称。两式一般都不成立，此时 f 既非奇也非偶；两式同时成立当且仅当 f 恒等于 0。
跟着做一遍
取 f(x)=x²。(1) 不描点，写出 g(x)=−f(x+2)+1 的顶点与开口方向，再代两个数验证；(2) 判断 h(x)=x³−x 与 p(x)=x²+x 的奇偶性。
- 拆开：g(x) = −(x+2)² + 1。三步——内部 +2、外部取负、外部 +1。
- 内部 +2 是左移 2：f 的顶点从 x=0 搬到 x=−2。验证 (−2+2)^2 = 0，确实在 x=−2 处取到了老顶点的值。
- 若误以为是右移 2，那么 x=0 处该是顶点值 0；但 (0+2)^2 = 4，不是 0。右移的说法被数值直接否掉。
- 外部取负：开口由向上翻成向下。外部 +1：整体上移 1，顶点纵坐标 0+1 = 1。所以顶点是 (−2, 1)。
- 代回验证：g(−2) = −((−2+2)^2)+1 = 1；g(−1) = −((−1+2)^2)+1 = 0，与顶点旁边下降一格吻合。
- h(−x) = (−x)³ − (−x) = −x³ + x = −h(x)，故 h 是奇函数。数值验：h(2) = 2^3−2 = 6，h(−2) = (−2)^3−(−2) = −6 = −h(2)。奇函数还必有 h(0) = 0^3−0 = 0。
- p(1) = 1^2+1 = 2，p(−1) = (−1)^2+(−1) = 0。p(−1) ≠ p(1)，不是偶函数；又 −p(1) = −2 ≠ 0 = p(−1)，也不是奇函数。
- 顺带看伸缩的内外之别：3f(2) = 3*(2^2) = 12 是纵向拉伸，f(3·2) = (3*2)^2 = 36 是横向压缩后同一横坐标处的值，两者不同。
结果
g(x) 的顶点是 (−2, 1)，开口向下；h(x)=x³−x 是奇函数，图像关于原点中心对称；p(x)=x²+x 既非奇也非偶，尽管它的次数 2 是偶数。三个结论全靠「内部改 x、外部改 y」和两种翻折得到，一个点都没描。