定积分的性质

把 ∫ 从 a 到 b 的 f(x)dx 想成一件事：沿 x 轴从 a 走到 b，一路把 f 的高度乘上脚下走过的宽度，累加起来。这个「累加」的图像里，四条性质是能读出来的，不必一条条记。

第一件事是拆。如果被积函数是两块高度叠起来的，比如 3x² 的高度加上 sin x 的高度，那么先叠再累加，和分别累加再相加，结果一样。同一堆积木，先合后称还是先称后合，总重不变。所以加法可以拆开，常数因子可以提到积分号外面。

这里有个坑要当场堵住：能拆的是加法，不是乘法。∫fg 不等于 ∫f 乘 ∫g。取 f = g = 1，在 [0, 2] 上左边是 ∫1dx = 2，右边是 2 乘 2 = 4。面积不会因为你把两个高度乘起来，就跟着乘起来。

第二件事是接。从 a 走到 c，再从 c 走到 b，和直接从 a 走到 b，累加的是同一段路。所以区间可以在中间任意切开，分段定义的函数就靠这一条才算得动。

第三件事是方向。定积分记录的不只是面积，还有你走的方向。从 a 走向 b 时每一步的宽度记成正的；倒着走回来，同一步的宽度就记成负的。于是从 b 到 a 的积分，是从 a 到 b 的积分的相反数。这一条顺手回答了另一个很常见的想法：被积函数处处为正，积分是不是就一定为正？不一定——上限比下限小的时候，负号会把它整个翻过去。

第四件事，也是这一片里最省力的一件事：对称。若 f 是奇函数，f(-x) = -f(x)，那么它在原点左边的图像，就是右边图像先关于 y 轴翻、再关于 x 轴翻的结果。右边多出多少，左边就欠下同样多。在关于原点对称的区间 [-a, a] 上，这两半严丝合缝地抵消，积分是 0。

偶函数 f(-x) = f(x) 则相反：左右两半是镜像，形状一模一样。你只要算 0 到 a 这一半，再乘 2。

对称这条最容易被记成一句太强的话：「奇函数积分为 0」。少了「在对称区间上」这几个字，它就是错的。x³ 在 [1, 2] 上的积分显然不是 0，它整段都在 x 轴上方。抵消得有人来抵消——区间必须先把左右两半都交到你手上。

把上面四句话写成符号。设 f、g 在所涉区间上可积，k 是常数。式子里 f(x) 是被积函数，a 是下限，b 是上限，dx 指明积分变量是 x。

线性：∫_a^b [f(x) + g(x)]dx = ∫_a^b f(x)dx + ∫_a^b g(x)dx，且 ∫_a^b k·f(x)dx = k∫_a^b f(x)dx。

区间可加性：∫_a^b f(x)dx = ∫_a^c f(x)dx + ∫_c^b f(x)dx。这里的 c 不必夹在 a 与 b 之间，只要 f 在用到的每段上可积就行；越界的情形由下一条兜住。

定向：∫_b^a f(x)dx = -∫_a^b f(x)dx。取 b = a 得 ∫_a^a f(x)dx = 0，宽度为零，累加不出任何东西。

对称：设 a > 0。若 f 在 [-a, a] 上可积且为奇函数，即区间上每个 x 都满足 f(-x) = -f(x)，则 ∫_{-a}^{a} f(x)dx = 0。若 f 为偶函数，即 f(-x) = f(x)，则 ∫_{-a}^{a} f(x)dx = 2∫_0^a f(x)dx。

对称那两条不必另记，它由前三条加一次换元推出来。先按可加性把 ∫_{-a}^{a} 拆成 ∫_{-a}^{0} 与 ∫_0^a。在前一半里令 x = -u，则 dx 变成 -du，上下限由 x 从 -a 到 0 变为 u 从 a 到 0。用定向把这对上下限翻回来，负号抵掉，前一半等于 ∫_0^a f(-u)du。f 为奇函数时它是 -∫_0^a f(u)du，与后一半正好抵消；f 为偶函数时它就等于后一半，于是总和是后一半的两倍。