幂法则与线性性

求导就是问一句话：x 动一点点，f 动多少。

先看 x²。把它想成边长为 x 的正方形的面积。边长增加一小截 h，面积多出来什么？右边贴一条 x×h 的长条，上边贴一条 x×h 的长条，右上角还有一个 h×h 的小方块。小方块的面积是 h²——当 h 很小时，h² 比 h 小得多得多（h=0.001 时 h²=0.000001），它对「每单位 h 增加多少」这个比值的贡献趋于 0。所以增量差不多就是 2xh，变化率是 2x。

再看 x³，边长为 x 的立方体。边长加 h，三个面各贴上一层厚度为 h 的板，每层体积 x²h。棱和角上的碎块都带 h² 或 h³，忽略。增量约 3x²h，变化率 3x²。

模式已经出来了：xⁿ 是 n 个 x 相乘。让其中一个 x 动一截 h，其余 n−1 个按兵不动，这一份贡献 xⁿ⁻¹·h。而能动的位置有 n 个，加起来就是 n·xⁿ⁻¹·h。所以变化率是 n·xⁿ⁻¹。

请留意指数为什么会掉一个：动的那个 x 被 h 顶掉了，剩下的只有 n−1 个 x。写成 n·xⁿ 就等于说「h 那一份是白来的」——那 x² 的变化率就成了 2x²，在 x=10 时是 200，可正方形边长从 10 涨到 10.001，面积只从 100 涨到 100.02，比值是 20 不是 200。

这个「一次只动一个」的画面顺便回答了另一个问题：为什么积的导数不是导数的积。正方形面积是 x·x，两个因子的变化率各是 1，乘起来是 1，但真实答案是 2x。因为两个因子会轮流动，贡献要加不要乘。

最后是线性性，它的直觉比幂法则还朴素。两个人同时往同一个账户存钱，账户的增长速度就是两人速度之和——互不干扰，所以和的导数是导数的和。把所有金额统一放大 3 倍，增长速度也放大 3 倍——所以常数可以提到求导外面。而一个常数函数，比如 f(x)=5，是一条水平线：你走到哪它都是 5，一点没涨，速度是 0，不是 5。

记号先交代清楚。f′(x) 指的还是那个极限：lim_{h→0} [f(x+h) − f(x)] / h，我们只是不再每次都算它。

幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。这里 x 是变量，n 是指数位置上的一个常数。
- n=1：(x)′ = 1·x⁰ = 1。
- n=0：x⁰ 是常函数 1，导数 0·x⁻¹ = 0。
- n 不必是正整数，1/2、−3 都成立（√x = x^{1/2}，导数 ½x^{−1/2}）；上面的几何图像只覆盖了正整数的情形。

n 是常数这一条不能松。x^x 的底和指数同时随 x 变化，相当于两个位置一起动，幂法则不适用，(x^x)′ ≠ x·x^{x−1}。

线性性（两条）：
- 加法：(f + g)′ = f′ + g′
- 数乘：(c·f)′ = c·f′，c 为常数
合并写作 (a·f + b·g)′ = a·f′ + b·g′，a、b 为常数。

常数：(c)′ = 0。

注意线性性只管加法和数乘。乘法（f·g）、除法、复合都不在其中，各自另有法则。

有了这些：任何多项式都是若干单项式之和，每个单项式都是「常数 × 幂」，所以线性性负责拆开，幂法则负责逐项处理，两条规则就把整类问题封死了。