乘积法则与商法则
(fg)′ = f′g + fg′，商法则是它的推论。直觉是『面积的变化 = 长变化带来的 + 宽变化带来的』。
7 分钟思维方法: 极限过程
不问到了没有，只问越来越接近什么
这一片为什么存在
你已经会求 x³ 的导数，也会求 sin x 的。那 x³·sin x 呢？大多数人的第一反应是把两个导数乘起来，这个答案是错的，而且错得不容易自己发现。这一片要给你一个不会记混的理由——不是让你背下 f′g + fg′，而是让你在忘记它的时候能当场把它重新造出来。
内容
把乘积画成一个矩形：长是 f(t)，宽是 g(t)，面积正好是 f(t)g(t)。求 (fg)′，就是问“这个矩形的面积长得多快”。
让时间往前走一小步。长从 f 变成 f + Δf，宽从 g 变成 g + Δg。新面积比旧面积多出来的是一个 L 形，它由三块拼成：
· 右侧一条竖直窄条，宽 Δf、高 g，面积 Δf·g；
· 顶上一条水平窄条，长 f、高 Δg，面积 f·Δg；
· 右上角一个小方块，面积 Δf·Δg。
关键在角上那一小块。Δf 和 Δg 都随时间步长 h 一起趋于零，所以它们的乘积是“小的平方”。把 h 缩到十分之一，两条窄条各缩到十分之一，角块却缩到百分之一。三块都除以 h 之后，两条窄条留下有限的贡献，角块被压成零。
于是：面积的变化率 = 长变化带来的 + 宽变化带来的，角上那块不算数。这就是 (fg)′ = f′g + fg′。
这个图还解释了公式的两个特征。为什么是两项相加，不是一项？因为矩形有两条边可以动，各动各的，贡献要加起来。为什么每一项里都挂着另一个函数的原值？因为竖条的高度是那一瞬间的 g，宽条的长度是那一瞬间的 f——变化刚发生时，另一条边还没来得及动。
顺手也看清了 (fg)′ = f′·g′ 为什么一定错。取 f = g = x：左边是 (x²)′ = 2x，右边是 1·1 = 1。一个随 x 变化，一个是常数，连“随 x 增大而增大”这件事都对不上。
设 f 和 g 都在点 x 处可导。乘积法则：(fg)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x)。其中 fg 指函数 x ↦ f(x)g(x)，撇号表示对 x 求导，f′(x) 是 f 在这一点的导数值。
把上面的 L 形翻成代数，就是证明。差商为 [f(x+h)g(x+h) − f(x)g(x)] / h。在分子里加一项又减一项 f(x)g(x+h)，值不变。分子于是拆成 [f(x+h) − f(x)]·g(x+h) + f(x)·[g(x+h) − g(x)]。这两块正是那两条窄条。除以 h 并令 h → 0：第一块趋于 f′(x)g(x)，第二块趋于 f(x)g′(x)。中间用到 g(x+h) → g(x)，即 g 在 x 处连续；可导必连续，所以这一步是白拿的。
商法则是推论，不必另证。记 q = f/g，要求 g(x) ≠ 0，则 f = q·g。两边求导，右边用乘积法则：f′ = q′g + qg′。解出 q′ = (f′ − qg′)/g，把 q = f/g 代回并通分：(f/g)′ = (f′g − fg′)/g²。分子两项不能交换，交换会让整个式子变号。取 f = 1 检验：结果必须是 −g′/g²，交换后符号就反了。
跟着做一遍
求 h(x) = (2x + 1)(x² − 3) 的导数，用两种办法各做一遍：先展开成多项式再逐项求导，和直接套乘积法则。做完之后比较两个结果。
- 方法一，先展开：(2x + 1)(x² − 3) = 2x³ + x² − 6x − 3。
- 逐项用幂法则求导：h′(x) = 6x² + 2x − 6。
- 方法二，取 f = 2x + 1，g = x² − 3，于是 f′ = 2，g′ = 2x。
- 套公式：h′ = f′g + fg′ = 2(x² − 3) + (2x + 1)·2x。
- 展开整理：2x² − 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x − 6。两条路完全一致。
- 再试试错误公式：f′·g′ = 2·2x = 4x。在 x = 1 处，正确答案给 2，它给 4。
- 自己再做一个：用商法则求 (2x + 1)/(x² − 3) 的导数，答案是 (−2x² − 2x − 6)/(x² − 3)²。
结果
h′(x) = 6x² + 2x − 6。展开求导和乘积法则给出同一个函数，它们本来就在算同一件事；而 f′·g′ 连一个具体的点都对不上。