分部积分法

乘积法则说 (uv)' = u'v + uv'。求导时它把一个乘积拆成两项相加，那么倒过来看，积分时它就应该能把其中一项换成另一项。分部积分的全部来源就是这一句话，没有别的秘密。

先别急着看公式，先看清它到底在做什么。你手上有一个难算的积分，被积函数是两个东西的乘积。分部积分允许你把其中一个因子求导、另一个因子积分，代价是你会拿到一个新的积分。旧的积分没有被消灭，它只是换了个样子站在那里。

所以这个方法有一个别的方法没有的性质：它本身不产生答案，它只产生一次交换。∫u dv 换成 uv − ∫v du，这个等号永远成立，哪怕你换得一塌糊涂。公式不会报错，走进死胡同的只会是你。判断成功的标准因此只有一条：新积分比旧积分更容易算，这笔交易才划算。

这就直接决定了 u 该怎么选。你要问的是：哪个因子求导之后会变简单？x 求导变成 1，x² 求导变成 2x，多项式的次数每求一次导就掉一格，几步之后干脆消失——这是 u 最典型的样子。而 eˣ、sin x 求导之后还是它们自己，放在 u 的位置上毫无收益，应该留给 dv 去积分。

拿 ∫x eˣ dx 检验一下这个判断。选 u = x，新积分是 ∫eˣ dx，一步就算完。反过来选 u = eˣ、dv = x dx，那么 v = x²/2，新积分变成 ∫(x²/2)eˣ dx，x 的次数不降反升。两种选法写下的等式都是对的，但后一种把你推得更远。选错不会让你算出错误的答案，只会让你算不出答案。

还有三件事值得提前知道，它们各自对应一种常见的半途放弃。

第一，公式里的 v 只需要是 dv 的某一个反导数，不要加 +C。加上去也不会错，只是那个常数最后一定会自己抵消，等于白算一遍。

第二，换一次不够是常态，不是失败。∫x² eˣ dx 换完第一次剩下 ∫2x eˣ dx，还得再换一次。x 的次数每次掉一格，这恰恰说明方法正在起作用。

第三，有时候新积分绕了一圈又变回原积分，比如 ∫eˣ sin x dx 换两次之后，右边重新出现了它自己。这不是方法失效的信号。此时把原积分整体当成一个未知数 I，你手上拿到的是一个关于 I 的方程，移项解出来就是答案。

设 u = u(x) 与 v = v(x) 在同一区间上可导，且 u'、v' 连续。

乘积法则给出 (uv)' = u'v + uv'。两边对 x 求不定积分，左边还原成 uv，于是有：

uv = ∫u'(x)v(x) dx + ∫u(x)v'(x) dx。

把第一项移到左边，就得到分部积分公式：

∫u(x)v'(x) dx = u(x)v(x) − ∫u'(x)v(x) dx。

换成微分记号更好记。记 du = u'(x) dx、dv = v'(x) dx，公式写作 ∫u dv = uv − ∫v du。

逐个交代符号所指。u 是你挑出来准备求导的那个因子；dv 是被积表达式里剩下的一整块，末尾的 dx 也算在里面；du 是 u 的微分，由求导得到；v 是 dv 的任意一个反导数，由积分得到。u 与 dv 合起来必须正好等于原来的被积表达式，不多不少。

关于 v 为什么不加常数：把 v 换成 v + C，右边成为 u(v+C) − ∫(v+C) du，展开是 uv − ∫v du + Cu − C∫du。而 ∫du = u，所以 Cu − C∫du = 0，常数恒被消掉。

定积分版本只是把两处都配上限：∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。