可导与连续的关系
可导一定连续，反过来不成立。尖点、竖直切线都是连续但不可导的地方——|x| 在 0 处就是标准反例。
8 分钟思维方法: 反证
先假设结论不成立，把自己逼进死胡同
这一片为什么存在
你大概已经能熟练求导了。但真正会卡住你的是这一类问题：图像画出来没断，你就默认它处处有导数——于是在 |x| 的 0 点写下 f′(0)=0。这一片要拆开的，正是「不断」和「有切线」这两件被默认绑在一起的事：它们只朝一个方向连着，反方向是断的。
内容
先把两个词换成动作。连续是「笔不离纸」：你沿着图像画过 a 点，中途不用抬笔。可导是「放大后是直线」：把 a 点附近不断放大，图像越来越像一根直线，那根直线的斜率就是导数。
这两个要求的强弱差得很远。放大后像直线是苛刻得多的条件——它先得不断（否则放大只会把裂口放得更大），还得让两边朝同一个方向倒下去。
所以「可导一定连续」可以这样硬逼出来：假设 f 在 a 点可导，却在 a 点不连续。不连续意味着 x 靠近 a 时 f(x) 并没有靠近 f(a)，差值 f(x)−f(a) 顽固地停在某个非零高度上。可差商是这个差值除以 x−a，而 x−a 正在往 0 缩。一个不缩的东西除以一个缩向 0 的东西，绝对值只会冲向无穷。导数却必须是一个具体的数。矛盾。所以「可导却不连续」这件事不是罕见，是根本不存在。
反过来就没有这种压迫感了。笔不离纸的画法多得是，其中有些地方拐得很硬。|x| 在 0 处就是标准样本：左边一路斜率 −1，右边一路斜率 +1，笔确实没抬起来，但你把 0 附近放大一万倍，看到的永远是一个 V，不是一根直线。V 没有唯一的斜率，导数就不存在。
这里顺手拆掉一个很常见的想法：0 是 |x| 的最低点，所以导数是 0。最低点能推出导数为 0，前提是那里本来就可导——那条结论说的是「可导的极值点导数为 0」，不是「极值点导数为 0」。|x| 恰好掉在前提外面。
也别把不可导误当成「函数在那里没定义」。|0| 等于 0，定义得清清楚楚，函数在那里还连续。出问题的不是点，是方向：左右两侧要求的切线不是同一根。
尖点也不是唯一的坏法。x^(1/3) 在 0 处连续、图像看着还挺顺，但切线是竖直的，斜率要「无穷大」——同样不是一个数，同样不可导。
设 f 在包含 a 的某个开区间上有定义。
可导的定义：极限 f′(a) = lim_{x→a} [f(x) − f(a)] / (x − a) 存在，且是一个有限实数。这里 x→a 指 x 从左右两侧同时靠近；分式 [f(x) − f(a)]/(x − a) 是过 (a, f(a)) 与 (x, f(x)) 的割线斜率，称差商。
连续的定义：lim_{x→a} f(x) = f(a)，等价写法是 lim_{x→a} [f(x) − f(a)] = 0。
定理：f 在 a 可导 ⟹ f 在 a 连续。
反证。假设 f′(a) 存在，但 f 在 a 不连续，即 lim_{x→a} [f(x) − f(a)] ≠ 0。对一切 x ≠ a 有恒等式 f(x) − f(a) = ([f(x) − f(a)]/(x − a)) · (x − a)。右边第一个因子趋于有限数 f′(a)，第二个因子趋于 0，故乘积的极限为 f′(a) · 0 = 0。这与假设的 ≠ 0 直接冲突，假设崩塌。
逆命题不成立，一个反例就够：取 f(x) = |x|，a = 0。左侧差商 (|x| − 0)/(x − 0) = −1，右侧差商 = +1，两侧不等，双侧极限不存在，故 f′(0) 不存在。而 lim_{x→0} |x| = 0 = |0|，连续成立。
结论：可导严格强于连续。
跟着做一遍
设 f(x) = x² （当 x ≤ 1）， f(x) = 3x − 2 （当 x > 1）。判断 f 在 x = 1 处是否连续、是否可导。请自己先动笔，再对答案。
- 先查连续：左极限 lim_{x→1⁻} x² = 1，右极限 lim_{x→1⁺} (3x − 2) = 1，函数值 f(1) = 1² = 1。三者相等，f 在 1 连续。
- 别停在这里。连续只排除了「断裂」这一种坏法，还没保证放大后是一根直线。
- 算左侧差商：x < 1 时 (x² − 1)/(x − 1) = x + 1，当 x→1⁻ 时趋于 2。左导数是 2。
- 算右侧差商：x > 1 时 (3x − 2 − 1)/(x − 1) = 3(x − 1)/(x − 1) = 3，恒为 3。右导数是 3。
- 比较两侧：2 ≠ 3，双侧差商的极限不存在，所以 f′(1) 不存在。
- 确认定理没被违反：定理只断言可导 ⟹ 连续。这里是连续而不可导，正是逆命题失效的样子，不构成矛盾。
- 反向自查：如果有人说「f 在 1 处不可导，是因为函数在那里没定义」，用 f(1) = 1 就能反驳——点定义得好好的，坏的是方向。
- 再做一个对照：把右半段换成 2x − 1，重算一遍两侧。
结果
f 在 x = 1 连续但不可导：左导数 2，右导数 3，图像在 (1, 1) 处是一个尖点。换成 2x − 1 后，右端点值 2·1 − 1 = 1 仍连续，右导数变成 2，与左导数相等，尖点被抹平，此时 f 在 1 可导且 f′(1) = 2。连续是可导的必要条件，不是充分条件。