临界点与极值
极值只可能出现在 f′ = 0 或 f′ 不存在的点上——这把无穷多个候选压缩成一张很短的名单，再用符号变化确认。
7 分钟思维方法: 极端原理
先看最大的、最小的、边界上的那一个
这一片为什么存在
给你一条曲线，问最高点在哪。你可以逐点检查，但实轴上有无穷多个点，永远查不完。这一片要解决的就是这个搜查问题：怎样把无穷长的嫌疑人名单，压成一张几行的短名单，再逐个盘问。
内容
想象你走在一条起伏的山路上，脚下这一点是附近的最高处。你往左迈一小步，下降；往右迈一小步，也下降。如果这条路在你脚下是光滑的——有一条切线——那这条切线必须是水平的。理由很朴素：切线只要有一点倾斜，你就能顺着上坡方向迈一小步，走到更高的地方，那么脚下就不是附近最高处了。
这句话反过来用，威力才显出来。你要找极值，本来得检查无穷多个点；现在只需要检查那些切线水平的点。剩下的点一个都不用看，因为它们身上都带着一个明确的上坡方向。
但这条推理藏着一个前提：脚下是光滑的。如果路在你脚下打了个尖，压根没有切线，上面那套话一句也用不上。y = |x| 在 0 处就是这样：那是它的最低点，可它在那儿不可导。所以名单上还得加一类：导数不存在的点。
于是搜查范围收缩成两类点，f′ = 0 的，和 f′ 不存在的。这两类合称临界点。它们是嫌疑人名单，不是判决书。
嫌疑不等于有罪，这里是最容易滑倒的地方。y = x³ 在 0 处切线水平，可它一路上升，0 既不是峰也不是谷。要定罪，得看导数在这一点两侧的符号：由正变负是峰，由负变正是谷，两侧同号就无罪释放。
最后两句提醒，关于极值这个词本身。极大值只承诺附近最高，不承诺全局最高——山脚下的小土包也是货真价实的局部极大。它也不保证极大值比极小值大：f(x) = x + 1/x 的极大值是 −2，极小值却是 2。
记号先交代清楚。f 是定义在开区间 I 上的函数，c 是 I 里的一个点，f′(c) 表示 f 在 c 处的导数。
局部极大：若存在一个包含 c 的开区间 J ⊆ I，使得 J 里所有 x 都满足 f(x) ≤ f(c)，就说 f 在 c 处取局部极大值 f(c)。把不等号反向就是局部极小。这个 J 可以要多小有多小，局部两个字全部的含义就压在它身上。
临界点：若 f′(c) = 0，或者 f′(c) 不存在，就称 c 是 f 的一个临界点。
费马定理：若 f 在内点 c 处取局部极值，且 f′(c) 存在，则 f′(c) = 0。与上一条合起来说，内点上的极值点必定是临界点。反向不成立。
一阶导数判别法：设 f 在 c 处连续，且在某个去心邻域 (c−δ, c) ∪ (c, c+δ) 内可导。若 f′ 在左半边为正、右半边为负，则 c 是局部极大点；正负互换则是局部极小点；两侧同号则 c 不是极值点。
注意内点这个限制。闭区间端点上的最值不受费马定理管辖，必须单独检查。
跟着做一遍
求 f(x) = |x|·(x−1)³ 在 ℝ 上的全部局部极值点，并指出哪个临界点不是极值点。先别画图，纯靠符号表做完，最后再画草图对答案。
- 去掉绝对值，分两段写：x ≥ 0 时 f(x) = x(x−1)³，x < 0 时 f(x) = −x(x−1)³。
- 对 x > 0 用乘积法则：f′(x) = (x−1)³ + 3x(x−1)² = (x−1)²(4x−1)。
- 对 x < 0 同理得 f′(x) = −(x−1)²(4x−1)。此时 4x−1 < 0，所以 f′(x) > 0，f 在整个负半轴上升。
- 查 x = 0：左边导数趋于 −(0−1)²(−1) = 1，右边趋于 (0−1)²(−1) = −1。两者不等，f′(0) 不存在，x = 0 进名单。
- 解 f′(x) = 0：由 (x−1)²(4x−1) = 0 得 x = 1/4 与 x = 1。名单到此完整，只有三个人：0、1/4、1。
- 列符号表。x < 0 时 f′ > 0；0 < x < 1/4 时 (x−1)² > 0 而 4x−1 < 0，故 f′ < 0；1/4 < x < 1 与 x > 1 时 f′ > 0。
- 逐个定罪。x = 0 处 f′ 由正变负，是局部极大点，f(0) = 0；x = 1/4 处由负变正，是局部极小点，f(1/4) = −27/256。
- x = 1 处虽然 f′(1) = 0，但两侧都是正号，函数只是在这里歇了一下就继续上升，它不是极值点。
结果
局部极大点 x = 0，极大值 0，而这一点根本不可导，费马定理管不着它，它却真是极值点；局部极小点 x = 1/4，极小值 −27/256；x = 1 是临界点但不是极值点。再看一眼全局：f(2) = 2 > 0，所以那个极大值 0 绝不是最大值。事实上 x → +∞ 时 f → +∞，x → −∞ 时 f → −∞，这个函数既没有最大值也没有最小值。