最值问题与最优化

先不管公式，想象你沿一条山路走，路的两头各有一道栅栏，你不能越过。走完全程，你到过的最高点在哪？

只有两种可能。要么在某个地方，路先上后下，你在那儿踩到了一个局部的顶——脚下是平的，或者是个尖顶、一个折角。要么你根本没遇到这种地方，路一路往上，那最高点就是你停下的那道栅栏。

这就是最值问题的全部结构。最大值只可能出现在「路面平了或者拐了」的地方，或者「路走到头了」的地方。前者叫临界点，后者叫端点。列出这两类候选点，把函数值全算一遍，最大的就是最大值，最小的就是最小值。不需要逐个判断它是极大还是极小——比数就行。

这里最容易漏的是端点。因为求导给你的信息是纯局部的：导数只告诉你在这一点附近往哪走会升高。端点处只有一侧有邻域，路在那儿被硬生生截断，导数为零根本没有理由发生。所以端点不会出现在解 f'(x)=0 的结果里，你必须手动把它加进名单。一个最省事的检查习惯：写完候选点，数一下区间的两个端点在不在上面。

第二件容易混的事：极值不等于最值。极大值是「比它周围高」，最大值是「比整条路上所有点都高」。山路上可以有一个小土包，你站上去环顾四周确实是顶，但翻过它前面还有主峰。导数只认得出小土包，认不出主峰——因为它看不到远处。所以求出临界点之后，比大小这一步不能省。

第三件事最关键，也是应用题真正的难点：栅栏在哪，是你自己定的。

题目给你的往往是一段文字：一张边长 30 厘米的正方形纸板，四角各剪去边长 x 的小正方形，折成一个无盖盒子，问体积最大是多少。写出 V(x)=x(30−2x)² 只是把话翻译成式子，几乎不会错。会错的是接下来那句没人明说的话——x 能取哪些值？

x 是剪掉的边长，所以 x>0。剪掉两个角之后还得留下底面，所以 30−2x>0，即 x<15。于是 x 的活动范围是开区间 (0,15)。端点确实取不到：x=0 等于没剪，x=15 底面为零，都折不成盒子。

很多人在这里把定义域写成全体实数，然后解出一个负数也一本正经地代进去。也有人凭直觉断定「开区间上照样有最大值」。后者并不总成立：f(x)=x 在 (0,1) 上就取不到最大值，越靠近 1 越大，可 1 本身不在范围里，没有哪个点能称冠。所以定义域是开区间时必须额外说理，不能默认最值存在。

所以顺序应该反过来。别一拿到题就求导。先问：变量是什么，它必须满足哪些不等式（长度为正、材料有限、时间非负、比例不超过 1），把这些不等式的交集写下来。这个集合就是你的栅栏。栅栏立好了，剩下的求导、列候选、比大小才是机械活。

把上面的话写成能用的形式。

记号先交代：a、b 是两个实数且 a<b；[a,b] 指所有满足 a≤x≤b 的实数 x，两端都算在内；(a,b) 指 a<x<b，两端不算。f 是定义在 [a,b] 上的函数，f(x) 是它在点 x 的值。说「f 在 [a,b] 上连续」，直观地讲就是图像一笔画得出来，没有断点、没有跳跃、也没有竖直飞出去。

极值定理：若 f 在闭区间 [a,b] 上连续，则存在 c、d ∈ [a,b]，使得对一切 x ∈ [a,b] 都有 f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)。f(d) 就是最大值，f(c) 是最小值。定理只保证它们存在，不告诉你在哪。

两个前提都不能省。去掉「闭」：f(x)=x 在 (0,1) 上连续，却没有最大值。去掉「连续」：在 [0,1] 上定义 f(x)=1/x（x>0）、f(0)=0，函数无上界，也没有最大值。

临界点：称内点 x₀ ∈ (a,b) 是 f 的临界点，如果 f'(x₀)=0，或者 f'(x₀) 不存在。这里 f' 是 f 的导函数，f'(x₀)=0 意思是图像在该点的切线水平。

费马引理给出关键限制：若 f 在内点 x₀ 处取到 [a,b] 上的最大值或最小值，且 f'(x₀) 存在，则必有 f'(x₀)=0。把它和端点这唯一的例外合起来，搜索范围就锁定了：最值只能出现在临界点或 a、b 处。

于是有算法。取候选集 S = {a, b} ∪ {(a,b) 内的全部临界点}，在 S 的每个点上算出 f 的值。其中最大的数是最大值，最小的数是最小值。S 有限时用不上一阶或二阶判别法——那是判断局部性质的工具，这里直接比数更可靠。

若定义域是开区间或无界区间，极值定理失效，必须另作论证。常用做法是考察 x 趋于边界时 f 的极限。若这些极限值都小于某个临界点处的函数值，则该临界点给出最大值。