用导数符号判断增减

把 f 想成一条山路的海拔，f′ 就是你脚下这一步的坡度。坡度为正，你在上坡；坡度为负，你在下坡。所谓判断增减，无非是问：这一段路走下来，脚下始终是同一个方向吗？

难点在于，f′ 说的是一个点上的事，而'递增'说的是一整段区间上的事。这两者之间需要一座桥：如果整段路每一步都在上坡，那么走完这段，海拔必然高于出发时。桥的严格版本是拉格朗日中值定理，但你先按这个朴素说法用，不会出错。

真正要动脑筋的是：f′ 的符号什么时候会变？一个连续的量要从正变到负，必须路过零；如果不路过零，就只能是在某处断掉——导数不存在，或者函数本身就没定义。所以能改变符号的地方只有两类：f′ 的零点，和 f′ 不存在（含 f 无定义）的点。把它们全部挖出来，它们就把定义域切成若干段，而每一段内部符号恒定。剩下的事只是在每段里随便挑一个点，算一次 f′ 的正负，整段就定下来了。这正是分类讨论的标准形态：切得不重不漏，然后逐段处理。

有三处特别容易翻车，先打预防针。

第一，别把 f′ > 0 当成递增的必要条件。f(x) = x³ 在 x = 0 处 f′ = 0，可它从头到尾都在递增——孤立的一个零点，不足以让函数停下来。所以符号表里出现 f′ = 0 的孤立点时，若两侧同号，区间照样是连着的。

第二，f 递增和 f′ 递增是两回事。f(x) = √x 在 (0, +∞) 上递增，而它的导数 1/(2√x) 一路在减小。f′ 的符号管 f 的升降，f′ 自己的升降管的是弯曲方向，两条线别串台。

第三，f′(c) = 0 只是把 c 送进候选名单。c 是不是极值点，要看它两侧 f′ 的符号有没有真的改变。x³ 在 0 处再次出场作反例：导数为零，但左右都是正的，于是它连极值都算不上。

设 f 在区间 I 上连续，在 I 的内部可导。若对 I 内部的每一个 x 都有 f′(x) > 0，则 f 在 I 上严格递增；若都有 f′(x) < 0，则 f 在 I 上严格递减。这里 I 可以是开区间、闭区间或半开半闭，端点只要求连续，不要求可导。

'严格递增'的定义是：对 I 中任意 x₁ < x₂，都有 f(x₁) < f(x₂)。注意它是两个点之间的比较，而条件 f′ > 0 是逐点的。中值定理负责把逐点搬运到两点：存在 ξ ∈ (x₁, x₂) 使 f(x₂) − f(x₁) = f′(ξ)(x₂ − x₁)。右边两个因子都为正，左边就为正。

条件可以放松：若在 I 内部处处 f′(x) ≥ 0，且使 f′(x) = 0 的点不构成任何小区间（例如只有有限多个孤立点），则 f 在 I 上仍然严格递增。x³ 就落在这一条里。

分区间的依据：设 f 的定义域为 D，令 S 是 D 中所有满足 f′(x) = 0 或 f′(x) 不存在的点，再并上 f 的间断点与 D 的端点。在 D 去掉 S 后的每个连通分支上，f′ 处处存在且不取零；若 f′ 在该分支上连续，介值定理就保证它无法变号，于是整段同号。

结论必须按分支分别陈述。若 f 在 I₁ 与 I₂ 上分别递增，而 I₁ 与 I₂ 之间隔着不属于定义域的点，则不能写成 f 在 I₁ ∪ I₂ 上递增。因为递增的定义要求区间内任意两点可比，而跨越缺口的那一对点，不受任何一段的约束。