不等式与放缩
把一个量卡在两个已知量之间，往往比精确算出它更有用。夹逼、比较判别法、误差估计全都靠这一手。
11 分钟思维方法: 估算与放缩
不求精确值，先卡出它落在哪两个数之间
这一片为什么存在
解方程训练的是等号思维：每一步都得保住信息，多丢一点就算错。放缩要求的恰好相反——你必须主动丢信息，而且要丢得心里有数：往哪个方向丢、丢到什么程度结论还站得住。大多数人卡在这里不是因为不会解不等式，而是没人跟他们讲清楚「故意算不准」什么时候是合法的、什么时候就废了。这一片处理的就是这两个问题：允许放多少，以及怎么当场判断自己放过头了。
内容
想象你要称一块形状古怪的石头，手边没有精密天平，只有一堆砝码。你不会一次得到答案，你会问：比 2 公斤重吗？重。比 3 公斤重吗？不重。于是你报出「在 2 和 3 之间」。再细一点，就是 2.4 到 2.5 之间。注意这里发生了什么：你一次也没有算出真值，但你说出的每句话都是真的，而且一句比一句有用。
放缩就是这套动作的代数版本。它的核心是一种有方向的偷懒：要求上界时，允许把式子里的每一块换成更大但更好算的东西；要求下界时，一律换成更小但更好算的东西。换完之后原式可能面目全非，但只要方向一致，不等号就还成立。
关键的技术难点不是「能不能放」，而是「放完还剩不剩信息」。比如要说明 1 + 1/4 + 1/9 + … + 1/n² 不会无限膨胀，你当然可以把每一项都放大成 1，得到这个和小于 n。这句话完全正确，而且完全没用——界跟着 n 一起跑了。有用的放缩要满足一个隐含条件：放大之后的那个式子必须比原式好算，同时还得停在一个固定的数附近。这两个要求经常互相拉扯，找到同时满足它们的替换，就是这门手艺的全部内容。
还有一条纪律：一条推理链上的所有替换必须同向。你在证上界的路上，中途哪怕只放小了一次，整条链就断了，最后那个数既不是上界也不是下界，什么都不是。这跟解方程时「每步等价」的直觉很不一样，值得反复提醒自己。
最后，很多翻车不是因为放得不够聪明，而是因为把不等式当成了带箭头的等式。等式两边你可以随便同乘一个数、随便平方、随便两式相除；不等式不行。哪些操作合法，取决于这个操作在相关范围上是不是单调的——这是下一节要交代的东西，它不是一堆需要背的规则，而是同一条原理的几个侧面。
记号先交代清楚。设 x 是我们关心但暂时算不出的量。若找到实数 L、U 使 L ≤ x ≤ U，就称 L 是 x 的一个下界、U 是一个上界，[L, U] 是 x 的一个界（bound）；U − L 叫这个界的宽度，宽度越小信息越多，宽度为无穷就等于什么都没说。本片的主角是 S_n = 1 + 1/2² + 1/3² + … + 1/n²，即 S_n = Σ_{k=1}^{n} 1/k²，其中 k 取遍 1 到 n 的整数。
合法的保序操作只有下面这几类，放缩的每一步都必须落在其中之一：
（i）同加：对任意实数 c，a ≤ b 蕴含 a + c ≤ b + c。加法从不翻向。
（ii）同乘：c > 0 时 a ≤ b 蕴含 ca ≤ cb；c < 0 时方向翻转，变成 ca ≥ cb；c = 0 时两边同时塌成 0，不等号退化为等号。所以「两边同乘任意数方向不变」只在 c > 0 时成立，c 取负数或零就崩掉。
（iii）同向相加：a > b 且 c > d 蕴含 a + c > b + d。注意能加不能减，也不能除：a > b 且 c > d 推不出 a/c > b/d。若四个数都是正的，则可以相乘：a > b > 0 且 c > d > 0 蕴含 ac > bd。
（iv）单调函数保序：若函数 f 在区间 I 上单调递增，且 a、b 都落在 I 内，则 a ≤ b 蕴含 f(a) ≤ f(b)；f 递减则翻向。这一条是前面几条的总纲。t ↦ t² 只在 [0, +∞) 上递增，所以从 a > b 推 a² > b² 需要额外的 b ≥ 0，否则 a = 1、b = −3 就是反例。t ↦ 1/t 在 (0, +∞) 上递减，所以 0 < a < b 蕴含 1/a > 1/b——待会儿把 1/k² 换成 1/(k(k−1)) 靠的正是这一条。
（v）绝对值：当 c > 0 时，|x| < c 等价于 −c < x < c，是两个约束同时成立；|x| > c 等价于 x > c 或 x < −c。把 |x| < 3 简写成 x < 3 会漏掉左半边，x = −5 就会混进来。
（vi）传递与链式：L ≤ y ≤ x ≤ z ≤ U 直接给出 L ≤ x ≤ U。实际操作中，放缩就是往这条链里插入中间量，每一个中间量都比前一个更好算。
工具方面本片只需要两个裂项恒等式：1/((k−1)k) = 1/(k−1) − 1/k，以及 1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)。它们把一串难加的项变成首尾相消的差，这是放缩之所以能「塌缩」的机械原理。
最后点明用途：若对每个 n 都有 a_n ≤ x_n ≤ b_n，而 a_n 与 b_n 越来越接近同一个数 L，那么 x_n 也被逼向 L。这就是夹逼。放缩是手段，夹逼、比较判别法、误差估计都是它的下游。
跟着做一遍
不用计算器，把 S = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 卡在两个好算的数之间，然后把同样的手法推广，说明对任意 n ≥ 2 都有 S_n = 1 + 1/2² + … + 1/n² < 2。全程不许通分求真值。
- 先放上界。第一项 1 原样保留（它本来就好算），从 k = 2 起动手。对每个 k ≥ 2 有 k² > k(k−1) > 0，两边取倒数方向翻转，得 1/k² < 1/(k(k−1))。这一步用的是 t ↦ 1/t 在正数上递减，不是凭感觉。
- 裂项：1/(k(k−1)) = 1/(k−1) − 1/k。拿 k = 2 验一下，左边 1/(1·2) = 0.5，右边 1/1 − 1/2 = 0.5，对上了。
- 把 k = 2, 3, 4 三项一起替换求和：(1/1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4)。中间的 1/2 和 1/3 各自一正一负全部抵消，只剩两头，等于 1 − 1/4 = 0.75。于是 S < 1 + 0.75 = 1.75。放缩值钱的地方就在这里：原来三项各自都不好算，替换之后整串塌成了两个数。
- 再放下界，方向必须整条链反过来。对 k ≥ 2 有 k² < k(k+1)，取倒数得 1/k² > 1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)。k = 2, 3, 4 求和同样塌缩：(1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + (1/4 − 1/5) = 1/2 − 1/5 = 0.3。所以 S > 1 + 0.3 = 1.3。
- 自查有没有放过头。取正数 720 同乘三个数（因为 720 > 0，三个不等号方向都不变；若手滑乘成 −720，全部必须翻向）。720·S = 720/1 + 720/4 + 720/9 + 720/16 = 720 + 180 + 80 + 45 = 1025；下界端点 720 × 13/10 = 936；上界端点 720 × 1.75 = 1260。936 < 1025 < 1260，两侧都有余量，界是真的，而且宽度还算克制。
- 推广。上界那一步对任意 n ≥ 2 一字不改：S_n < 1 + [(1/1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/(n−1) − 1/n)] = 1 + (1 − 1/n) = 2 − 1/n。右边永远小于 2，所以不管 n 多大，S_n 都过不了 2。
- 回头看被丢掉的东西：我们从没算过 S_n 的真值，也没用到它其实收敛到 π²/6。放缩只交出了一句「永远不超过 2」——而判断这个和会不会爆掉，只需要这一句。
结果
1.3 < S = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 < 1.75（真值 205/144 ≈ 1.4236，确实落在里面）；并且对任意 n ≥ 2 有 S_n < 2 − 1/n < 2。整个过程一次通分都没做。