解方程：等价变形
解方程是一步步换成解集相同的方程，直到形如 x = 某个数。恒等变形保住的是值，等价变形保住的是解集，两者不是一回事。
10 分钟思维方法: 化归
把没见过的问题变形成见过的问题
这一片为什么存在
你已经会移项、会通分、会开方了。可有时候答案莫名其妙多出一个,有时候又少了一个,而你说不清是哪一步出的问题——只好把结果一个个代回去碰运气。这一片不打算再教你几种题型的步骤,它要给你一把尺子:每做一步,你都能自己判断这步安不安全。学会之后,验根不再是老师要求的仪式,而是你知道什么时候非做不可、什么时候可以省。
内容
把一个方程想成一道关卡。所有的数排队走过去,满足等式的放行,不满足的淘汰。被放行的那批数,就是这个方程的解集。
解方程从头到尾只做一件事:把关卡换成更简单的关卡,一直换到关卡简单成“x = 某个数”为止。但换的时候有一条铁律——放行的必须还是同一批数。
看这两道关卡:“x² = 3x”放行 0 和 3;“x = 3”只放行 3。它们中间只隔着一步“两边除以 x”,可放行的人不一样了。所以那步除法不是合法的换法,不管它看起来多顺手。
这里有个特别容易混的地方。你之前学的恒等变形,比如把 (x+1)² 展开成 x²+2x+1,保证的是:对每一个 x,两个表达式算出来的值都相等。它当然安全,因为它连一个数的命运都没碰过。但“两边同时做某件事”是另一码事——它改的是关卡本身,它不承诺任何一个数的值不变,只承诺进出的人是同一批。恒等变形保住的是值,等价变形保住的是解集。把这两件事当成一件事,就是错误的源头。
最后给个方向感:换关卡只可能错两种。要么放进了本该淘汰的人(多出来的解,叫增根),要么赶走了本该留下的人(丢解)。这两种错由不同的操作造成,补救办法也完全不同,所以值得分开记。
把方程写成 P(x) = Q(x),其中 P、Q 是含未知数 x 的两个表达式。
先定定义域 D:所有让 P 和 Q 两边都有意义的 x(分母不为零、根号下非负、对数真数为正……)。然后
S = { x ∈ D : P(x) = Q(x) },
S 就是解集,也就是“被放行的那批数”。
一步变形,是把方程 E₁ 换成 E₂,它们的解集记作 S₁ 和 S₂。三种情形:
· 等价变形:S₁ = S₂。这是解方程唯一真正允许的步骤,记作 ⟺。
· 只保证 S₁ ⊆ S₂:没丢解,但可能多出来。多出来的那些叫增根,记作 ⇒。
· 只保证 S₂ ⊆ S₁:没多解,但可能丢了。
判据是可逆性。设你对两边同时施加一个函数 f,把 P = Q 换成 f(P) = f(Q)。“f 单射”的意思是 f(a) = f(b) 只能推出 a = b。
· f 在相关取值范围上单射(即存在逆运算),变形等价。两边同加一个在 D 上处处有定义的式子:f(t) = t + c,单射,可逆(减回去就行)。两边同乘一个非零常数 k:f(t) = kt,单射。这些都安全。
· f 不单射,只保证 S₁ ⊆ S₂。平方 f(t) = t² 在实数上不单射——t 和 −t 去同一个地方。所以两边平方只保证不丢解,可能凭空造出解。一个赤裸裸的见证:−2 ≠ 2 是假的,可 (−2)² = 2² 是真的,平方把一个假等式变成了真等式。此外平方还会悄悄放宽定义域(原来要求非负的一边不再要求了)。因此平方之后验根不是好习惯,是这一步的必要补丁。
· 两边同除以含 x 的式子 A(x):你其实是在偷偷假设 A(x) ≠ 0,等于把 A(x) = 0 的那些 x 从考虑中划掉,S₂ ⊆ S₁,可能丢解。补丁是分类讨论:先单独处理 A(x) = 0 的情形,再在 A(x) ≠ 0 下做除法。更省事的办法是根本别除——移项、分解因式,用“乘积为零当且仅当某个因子为零”,那是等价的。
· 对称地,两边同乘 A(x) 会把 A(x) = 0 的点放进来,而这些点往往根本不在原方程的 D 里,典型场景就是乘掉分母。例如 x/(x−2) = 2/(x−2),两边乘 (x−2) 得 x = 2;可 x = 2 让原来的分母为零,它压根不在 D 中,所以这个方程的解集是空集。让分母为零的那个数不是“另一个解”,它连参加评选的资格都没有。
于是有一张对称的图:施加不可逆运算 → 解集可能变大 → 增根 → 用回代原方程(含定义域)筛掉;除以可能为零的式子 → 解集可能变小 → 丢解 → 用分类讨论或改成分解因式避免。
跟着做一遍
拿纸笔,解下面两个方程。要求:每写一步,在旁边补一句话,回答“这步之后能通过的数还是原来那批吗?”
(1) sqrt(x+5) = x − 1
(2) x² = 3x
- 先给 (1) 定定义域。根号要求 x + 5 ≥ 0,即 x ≥ −5。还有一条隐含条件容易漏:左边是算术平方根,取值恒 ≥ 0,所以右边也必须 ≥ 0,即 x − 1 ≥ 0,x ≥ 1。把这条记在草稿纸角上,一会儿要用。
- 两边平方:x + 5 = (x − 1)² = x² − 2x + 1。平方不单射,所以这一步只能写 ⇒,不能写 ⟺。旁注:“没丢解,但可能多人。”
- 整理成 x² − 3x − 4 = 0,分解得 (x − 4)(x + 1) = 0,候选 x = 4 或 x = −1。注意它们只是候选,还不是解。
- 验根——因为第 2 步不等价,这一步是必做的。x = 4:左边 sqrt(9) = 3,右边 4 − 1 = 3,相等,是解。x = −1:左边 sqrt(4) = 2,右边 −1 − 1 = −2,不相等,是增根。回头看第 1 步记下的 x ≥ 1,x = −1 正好违反它,增根是从哪冒出来的一目了然。
- 转到 (2)。第一个诱惑是两边除以 x,得 x = 3。停一下问:x 有可能是 0 吗?有可能。那么这一步把 x = 0 划出了考虑范围,不等价,可能丢解。
- 改成移项:x² − 3x = 0,分解 x(x − 3) = 0。乘积为零当且仅当某个因子为零,这一步是等价的,可以放心写 ⟺。
- 得 x = 0 或 x = 3。代回原方程确认:0² = 0 而 3·0 = 0,成立;3² = 9 而 3·3 = 9,成立。两个都是真解。
结果
(1) 解集是 {4};x = −1 是平方这一步制造出来的增根。(2) 解集是 {0, 3};那个差点被除法赶走的 0 是货真价实的解。
两道题你都没有依靠“记住哪类题要验根”,而是靠同一句问话:这一步之后,能通过的数还是原来那批吗?平方会放人进来,所以查;除以含 x 的式子会赶人走,所以不除、改成分解因式。规则只有一条,题型可以有无数种。