部分分式分解

先做一件你早就会的事：通分。1/(x-1) 减 1/(x+2)，通分之后是 3/((x-1)(x+2))。现在把这个过程倒过来看：如果有人只给你 3/((x-1)(x+2))，你能不能猜出它本来是两块相减？部分分式分解就是这个逆向操作。它不制造新知识，只是把加法走过的路再走回去。

为什么值得走回去？因为积分怕乘积，不怕求和。盯着 ∫3/((x-1)(x+2))dx，你手里没有任何现成公式。可一旦拆成 ∫1/(x-1)dx 减 ∫1/(x+2)dx，两块都是 ln，答案一眼就出来。这就是化归：不去发明新方法，而是把题目改写成已经有方法的形状。

拆的时候，哪些是已知、哪些是未知？分母的因式是已知的，做一次因式分解就读出来了。未知的只有各块头上的那几个常数。于是问题从「怎么积」变成「解一组线性方程」，而后者你早就会。

有三处会翻车，值得先说清楚。

第一，因式重复的时候，项数要够。分母是 (x-1)² 时，只写 A/(x-1)² 是不够的。理由很实在：把 A/(x-1)² 通分回去，分子永远只是一个常数 A。可原式的分子允许是一次式。自由度少了一个，就配不出来。所以必须写成 A/(x-1) 加 B/(x-1)²，两项都要。

第二，不是所有分母都能拆成一次因式。x²+1 在实数范围内不可约，你没法把它写成两个实系数一次式的乘积。这样的块只能整体保留，分子上放一个一次式 (Bx+C)。硬拆成一次因式，你会解出一组无解的方程。

第三，分子次数必须低于分母。像 (x²+1)/(x²-1) 这样上下同次，得先做多项式除法，写成 1 加 2/(x²-1)，再去拆剩下的真分式。跳过这一步，方程组同样会告诉你无解。

最后一句提醒：拆出来的常数不是可以商量的。通分回去以后，两边同次幂的系数必须逐项相等，这把它们钉死在唯一的一组值上。「凑得加起来对就行」在这里是错的。

把上面的话写成规则。设要处理的是 P(x)/Q(x)，其中 P、Q 都是实系数多项式，Q 不恒为零。

前置条件：deg P < deg Q，deg 表示多项式的次数。若不满足，先做多项式除法，写成 P/Q = S + R/Q，使 deg R < deg Q。S 是多项式，直接积；只对真分式 R/Q 做分解。

第一步，把 Q 在实数范围内完全分解。它一定能写成若干 (x-a)^m 与若干 (x²+bx+c)^k 相乘，其中 b²-4c<0，即这个二次式不可约。这里 a、b、c 是实数，m、k 是正整数。

第二步，按因式派项。每个 (x-a)^m 贡献 m 项：

A₁/(x-a) + A₂/(x-a)² + … + A_m/(x-a)^m。

每个 (x²+bx+c)^k 贡献 k 项，每项分子是一次式：

(B₁x+C₁)/(x²+bx+c) + … + (B_k x+C_k)/(x²+bx+c)^k。

所有 A、B、C 都是待定实数。它们的总个数恰好等于 deg Q。

第三步，定常数。把右边全部通分，分母正是 Q，再让分子与 P 恒等。比较同次幂系数，得到 deg Q 个线性方程，解唯一。代入特殊的 x 值是同一件事的捷径：让某个因式为零，就能一次问出一个常数。

第四步，逐项积分。A/(x-a) 给出 A·ln|x-a|。A/(x-a)^n 在 n≥2 时给出 -A/((n-1)(x-a)^(n-1))。(Bx+C)/(x²+bx+c) 再分成一个对数项和一个 arctan 项。绝对值来自 ln 的定义域，不能省。