二次函数与因式分解

先看一个对比。加法几乎不泄露信息：告诉你 a + b = 0，你对 a 一无所知——它可以是 7（那 b 就是 −7），可以是 −1000，可以是任何实数。乘法在遇到 0 时却完全不同：如果 a × b = 0，那么 a 和 b 里必定有一个是 0。实数里根本不存在『两个都不为零的数，乘出来是零』这种事。

所以 0 在乘法里是个告密者。这给了我们一条策略：想解方程，就想办法制造出『某某 × 某某 = 0』的局面，然后逐个因子问『你是 0 吗』。一个二次方程本来要一口气处理 x² 和 x 两种东西，拆成因式之后，就变成两个你早就会做的一次方程。难题没有被硬解，它被换了个形状。

这里有两处特别容易滑倒，值得先说清楚。

第一，结论是『至少一个为 0』，不是『两个都为 0』。a = 0、b = 7 时 ab = 0 成立得好好的，而 b 离 0 远得很。所以 (x−2)(x−3) = 0 给你的是两条并列的可能，不是一组同时要满足的条件——它产生两个解，而不是把解掐死。

第二，这个特权只属于 0。如果 (x−2)(x−3) = 6，你不能推出 x−2 = 6 或 x−3 = 6。因为乘出 6 的方式有无穷多种：2×3、12×0.5、−1×(−6)……6 这个数字锁不住任何一个因子。只有 0 的拆法是被锁死的：想乘出 0，其中一个必须就是 0。等号右边不是 0 的时候，因式分解不解方程。

二次式写作 ax² + bx + c，其中 a、b、c 是给定的实数常数，a ≠ 0（若 a = 0 整个式子退化成一次式，就不是二次方程了），x 是未知数。

零积性质（zero product property）：对任意实数 u、v，uv = 0 当且仅当 u = 0 或 v = 0。这里的『或』是包含性的——允许两个都为 0，只是不要求。

因式分解：找到实数 r、s 使得 ax² + bx + c = a(x − r)(x − s)。一旦写成这个形状，方程 ax² + bx + c = 0 两边同除以 a（a ≠ 0，这一步合法），得 (x − r)(x − s) = 0，零积性质立刻给出 x = r 或 x = s。r 和 s 叫这个二次式的根，也叫零点。

怎么找 r、s：展开 (x − r)(x − s) = x² − (r+s)x + rs，对比系数就得到 r + s = −b/a，rs = c/a（韦达定理）。这就是『凑两个数』这个做法的来源——它不是猜，是在解一个已知和与积的小方程组。

判别式 Δ = b² − 4ac 决定了 r、s 是不是实数：Δ > 0 时两个不同实根，Δ = 0 时一个重根（r = s），Δ < 0 时没有实根。Δ < 0 不表示题目出错，它是一条信息：抛物线整条悬在 x 轴的一侧，从不穿过。以 x² + x + 1 为例，Δ = 1² − 4·1·1 = −3 < 0；配方得 x² + x + 1 = (x + 1/2)² + 3/4，右边最小值 3/4 在 x = −1/2 处取到，恒为正——它确实一次也没碰到 0。（在复数范围里它照样有两个根，只是不在实数轴上。）

还有个小陷阱值得单独拆一次：x² = 4 不是只有 x = 2。按纪律先挪到一边，x² − 4 = 0，分解为 (x − 2)(x + 2) = 0，两个因子各给一个解，x = 2 或 x = −2。开平方这个动作本身会吃掉负的那一半，因式分解不会。

最后说一句它往后通向哪里。因式分解真正值钱的地方不止是解方程，还在于约分：对 x ≠ 3，(x² − 5x + 6)/(x − 3) = (x−2)(x−3)/(x − 3) = x − 2。左边在 x = 3 处是 0/0 没有定义，右边却干干净净。求极限时被消掉的那个因子，正是这里分解出来的。