分段函数与绝对值
|x| 的定义本身就是分段的：x≥0 取 x，x<0 取 -x。凡遇绝对值、开方、参数符号，就要分情况，而且要不重不漏。
11 分钟
这一片为什么存在
你大概已经会算 |−5| = 5。真正卡人的是下一步：|x−3| 里的 x−3 到底是正是负，你不知道——而不知道，就不能把竖线拿掉。这一片要给的不是绝对值的定义，是一套动作：什么时候必须分情况、分界点画在哪、怎么保证不重不漏、分完之后每个候选答案还要怎么验回去。
内容
把 |x| 想成一台带开关的机器：输入进来先看符号，非负的原样放行，负的先翻个身再放行。输出永远朝上。所以 |x| 不是「去掉负号」，是「如果是负的才去掉」——这个「如果」就是全部难点所在。
难点在于：当输入不是具体数字，而是 x−3 这样的表达式时，你没法当场看出它的符号。x=10 时它是正的，x=0 时它是负的。机器照样工作，但你作为解题的人卡住了：你不知道该走哪条支路。
出路只有一条：你不选，你两条都走。把 x 的取值范围切开，让每一段上 x−3 的符号是固定的，于是在这一段里绝对值可以安全脱掉，变回一个普通的一次式。切口画在内部恰好等于 0 的地方——这里是 x=3。这就是分界点的来历：它不是随便定的，是被「内部变号」逼出来的。哪里有绝对值、有开方、有一个符号未知的参数，哪里就有一个待定的切口。
有两个动作必须配套，缺一个就出错。第一，切完要检查不重不漏：所有段并起来正好是整个定义域（漏了就少解），两两不相交（重了就自相矛盾），分界点归给某一段，只归一次。第二，在某一段里解出的候选答案，必须落回那一段才算数——你是在「假设 x<3」的前提下解的，解出 x=7 就说明前提和结论打架，这个根要扔掉。前一步保证你不漏，后一步保证你不多。
最后破除一个直觉：切开不等于断开。|x| 在 x=0 处，两条支路给出的值都是 0，图像是一个尖角，不是断崖。分段只是写法上的分家，函数本身完全可以连着。想知道断没断，办法很朴素：把分界点分别代进相邻两段的公式，看结果对不对得上。
|x| 的定义本身就是分段的：x ≥ 0 时 |x| = x；x < 0 时 |x| = −x。注意 −x 在 x<0 时是正数，所以两支输出都非负。
一般地，分段函数 f 由定义域 D 的一组子集 D₁,…,Dₙ 和对应表达式 f₁,…,fₙ 给出：x ∈ Dᵢ 时 f(x) = fᵢ(x)。合法的分段要求两条——覆盖：D₁∪…∪Dₙ = D（不漏）；互斥：i ≠ j 时 Dᵢ ∩ Dⱼ = ∅（不重）。分界点必须明确归属其中一段。
对复合表达式，|u(x)| 的分界点是方程 u(x) = 0 的解，因为只有在那里 u 才可能变号。
由定义直接得到 √(x²) = |x|，而不是 x：根号规定返回非负值，x 却可能为负；两者只在 x ≥ 0 时相等。
同理，|a − b| = a − b 当且仅当 a ≥ b；否则 |a − b| = b − a。
跟着做一遍
解方程 |x−3| + |x+1| = 6。先自己找出分界点、把数轴切好，再往下看步骤。
- 找分界点：令每个绝对值的内部为零。x−3 = 0 得 x = 3；x+1 = 0 得 x = −1。
- 用这两点把数轴切成三段，边界各归一次：x < −1、−1 ≤ x < 3、x ≥ 3。三段并起来是全体实数，两两不相交——不重不漏。
- 第一段 x < −1：此时 x−3 < 0 且 x+1 < 0，两个绝对值都要变号，方程成为 (3−x) + (−x−1) = 2 − 2x = 6，解得 x = −2。
- 检验前提：−2 < −1 成立，这个根落在自己的段里，保留。
- 第二段 −1 ≤ x < 3：此时 x−3 < 0 而 x+1 ≥ 0，只变一个号：(3−x) + (x+1) = 4。左边恒等于 4，永远不等于 6，本段无解——顺带看出函数在这一段是常数 4，这是它的谷底。
- 第三段 x ≥ 3：两个内部都非负，竖线直接脱掉：(x−3) + (x+1) = 2x − 2 = 6，解得 x = 4。
- 检验前提：4 ≥ 3 成立，保留。
- 顺手验一下连不连：x = −1 代入第一段公式 2−2x 得 4，x = 3 代入第三段公式 2x−2 也得 4，都和中段常数 4 对得上——三段在分界点处接得严丝合缝，图像不断。
结果
x = −2 或 x = 4。只顾着「去掉负号」、直接写成 (x−3)+(x+1) = 6 的人只会得到 x = 4，丢掉一半答案；而 x = −2 处真实值 |−5| + |−1| = 5 + 1 = 6，它确实是解。分类讨论多出来的那一步，买的就是这个不漏。