分数、负数与运算顺序

分数：分母是单位的名字。

把 1 切成 4 份，一份的名字叫"四分之一"；切成 3 份，一份叫"三分之一"。分母告诉你这是哪种份，分子告诉你你手里有几份。于是 1/2 + 1/3 就像"3 米 + 4 英尺"——不是不能算，是不能把 3 和 4 直接加起来。通分做的事情只有一件：换算成同一种份。一旦份相同，加法就退化成数个数，2/6 + 3/6 就是"两小份再来三小份，一共五小份"。

如果你还想给"分子加分子、分母加分母"留一线希望，用最短的反例掐死它：1/4 + 1/4。按那条规则得 2/8，也就是 1/4。两个四分之一加起来还是四分之一？那你手里凭空少了一份。

负数：负号是方向，不是玄学。

把数轴想成一条路，正数往右，负数往左。减法就是"加上一个朝反方向的量"。那么括号前面那个负号是什么？是整包掉头：−(1/2 − 3/4) 意思是先把括号里那一整包算出来，再让这一包整体转 180°。既然是整包掉头，包里每一项都得跟着转，不能只转第一项。−(a − b) = −a + b，那个 b 是从"被减"转成了"被加"，它转身了。写成 −a − b 相当于让 b 原地不动，凭空多欠了 2b。

平方和负号：指数只抓紧挨着它的那个东西。

−3² 里，指数 2 紧挨着的是 3，不是 −3。所以它先把 3 变成 9，负号才姗姗来迟地作用在结果上，答案是 −9。想让负号也进平方，你必须用括号把它绑进去：(−3)² = 9。判断技巧：心里把 −3² 读成 0 − 3²，歧义当场消失。

先乘除后加减：这不是老师定的规矩，是记号省略的后果。

乘法把几个数捆成一个还没拆封的包裹，加法只发生在包裹与包裹之间。2 + 3×4 里参与加法的只有两个东西：2 和那个叫 3×4 的包裹（值为 12），所以是 14。如果你想让加法先发生，就得亲手打包：(2+3)×4 = 20。括号不是装饰，它是你唯一能推翻默认打包方式的工具。

除以分数：除法问的是"里面装得下几个"。

别急着念"颠倒相乘"的口诀，先问一句人话：1/2 里面装得下几个 1/4？半个饼，按四分之一块切，能切出两块。所以 (1/2) ÷ (1/4) = 2。答案比 1/2 还大——这正是除以一个小于 1 的数该有的样子。而 1/8 是 (1/2) × (1/4)，是把"除"错手做成了"乘"。记住这个反直觉的方向：除以一个不到 1 的数，结果会变大。

现在把上面每句话换成符号，符号逐个交代所指。

分数。 记 a/b，其中 a 是分子、b 是分母且 b ≠ 0；它表示唯一满足 b·x = a 的那个数 x。加法规则是

a/b + c/d = (a·d + c·b) / (b·d)， b ≠ 0, d ≠ 0

右边的 b·d 是新的公共单位（把两种份都再细分一次），a·d 是"a 份原单位换算成新单位后有多少份"，c·b 同理。注意分子分母各自相加从来不是这条式子的任何一部分。

负号。 −x 定义为 x 的加法逆元：唯一满足 x + (−x) = 0 的数。减法只是它的简写：a − b := a + (−b)。由 −x = (−1)·x 和分配律，

−(a − b) = (−1)·(a + (−b)) = (−1)·a + (−1)·(−b) = −a + b

那个 +b 不是特例，它就是分配律走完全程的结果。

乘方与一元负号。 a^n 表示 n 个 a 相乘（n 为正整数）。约定：乘方的优先级高于一元负号，因此

−a^n 表示 −(a^n)， 而 (−a)^n 是另一个式子

当 n 是偶数时两者一般不等：−3² = −9，(−3)² = 9。

除以分数。 c/d 的乘法逆元是 d/c（c ≠ 0, d ≠ 0），因为 (c/d)·(d/c) = 1。除以一个数即乘以它的乘法逆元：

(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) · (d/c) = (a·d) / (b·c)

优先级链（同级从左到右）。

括号 → 乘方 → 乘、除 → 加、减

"同级从左到右"不是废话：8 ÷ 4 × 2 = 4，不是 1。