频率与概率：数出来的和算出来的
抛 10 次得 7 次正面，不说明这枚硬币的概率是 0.7。频率是你手上这一批的记录，概率是那个你想知道的数——两者会靠近，但从来不是同一个东西。
6 分钟思维方法: 换表示
同一个对象换一种写法，难题可能自动变简单
这一片为什么存在
抛 10 次得 7 次正面，你写下 0.7；再抛 10 次得 4 次，你写下 0.4。同一枚硬币，两个数——如果这两个都叫「概率」，那概率是个会变的东西吗？麻烦不在算术，在于 0.7 和 0.4 根本不是你想知道的那个数，它们是两批记录。这一片要把这两样东西拆开，并给它们各自的写法。
内容
先分清这两个数分别住在哪儿。概率住在硬币和你的抛法里，是这套装置的一个属性，你还没开始抛，它就已经定下来了。频率住在你的记录本上，是抛完之后数出来的。装置不变，记录本可以换一本又一本——同一枚硬币，第一批 0.7，第二批 0.4，变的是记录本，不是装置。
麻烦出在写法上。你把「10 次里 7 次正面」压缩成 0.7，这一步扔掉了一个关键信息：10。写成 0.7 之后，它和概率长得一模一样，都是 0 到 1 之间的一个小数，于是你开始拿它当概率用。
换个写法就不一样了。把这批记录写成数对 (7, 10)：7 是次数，10 是总数。现在它明摆着是一份记录，数了多少次、出现几次，清清楚楚。而概率没有分母，它就是一个数，没有「基于多少次」这回事。
这个写法还顺手解决另一件事。抛 10 次全是正面，反面的频率是 (0, 10)，写成小数就是 0。可 (0, 10) 会提醒你：分母才 10，没见过不等于不会出现。要是只写 0，你很容易顺口说成「反面的概率是 0」。
那两者到底什么关系？抛的次数越多，频率越有可能靠近概率——注意，是频率在动，概率一直没动过。「抛得越多越准」说的是记录本越来越像装置，不是装置在变。
记「抛出正面」这个事件为 A。概率 P(A) 是一个固定的数，由硬币本身决定，不带任何下标——它跟你抛了多少次没关系。
频率带下标。抛 n 次，记其中 A 发生的次数为 k_n，频率就是 f_n(A) = k_n / n。这里 n 是你抛的总次数，k_n 是数出来的次数，两个都来自记录本。
所以 f_n(A) 身上有三样 P(A) 没有的东西：一个 n，一个 k_n，还有一次随机。重做一遍实验，k_n 会变，f_n(A) 跟着变，而 P(A) 纹丝不动。
大数定律说的是：n 越大，f_n(A) 落在 P(A) 附近的可能性越高。它连接两者，但没有把两者等同——式子里 P(A) 始终站着不动，动的一直是 f_n(A)。
跟着做一遍
拿一枚硬币，抛 20 次，边抛边把每次结果记成一串「正反正正……」。全程先不许化成小数。
- 抛之前，先在纸的最上方写下你认为「正面」的概率是多少，写完不许改。
- 抛 20 次，逐次记录，中途不要统计。
- 数前 10 次里的正面数 k₁，写成数对 (k₁, 10)。
- 数后 10 次里的正面数 k₂，写成 (k₂, 10)。
- 把 20 次重新数一遍，写成 (k₁+k₂, 20)。它不是前两个数对的平均，是又数了一次。
- 现在才允许化小数：k₁/10、k₂/10、(k₁+k₂)/20，三个数并排写下来。
- 把 20 次两两分成 10 组，统计「正正」「正反」「反正」「反反」各出现几次，写成四个分母为 10 的数对。
- 抬头看纸最上方那个数——从第 1 步到现在，你改动过它吗？
结果
三个小数几乎一定互不相同，而纸顶端那个数一次也没动过：变来变去的是记录本，没动的那个才是你要估计的对象。第 7 步更狠一点，四种组合的概率都是 0.25，可你的十组记录几乎不可能是 2.5 比 2.5 比 2.5 比 2.5，多半还有一种是 (0, 10)。它的概率仍然是 0.25——这句话之所以说得出来，是因为你写的是 (0, 10) 而不是 0。