圆周角定理：同一段弧上，角都一样大
顶点在圆上、对着同一段弧的角，全部相等，并且等于圆心角的一半。圆心在角内、角上、角外是三种图，但结论是同一条。
7 分钟思维方法: 不变量
找一个怎么变都不变的量，用它锁死结论
这一片为什么存在
球场上想把球门看得最开，直觉是往正中间站。可实际上存在一整条弧线：站在它上面的任何一点，球门张开的角度分毫不差，左挪右挪、前后绕行都不动。这条弧凭什么能把一个角锁死？
内容
关键的一笔，是把顶点和圆心连起来。
顶点 A 在圆上，两条边打到圆上的 B 和 C。连出 OA、OB、OC，三角形 OAB 里 OA=OB（都是半径），是等腰的；OAC 同理。等腰三角形的两个底角相等，而它在顶角处的外角等于两个底角之和——也就是底角的两倍。先按直径 AD 落在角内部那张图看：圆心角被 AD 切开的两块，各自是圆周角对应那块的两倍。合起来就是圆心角 = 2 × 圆周角。
现在看这句结论里没有谁。圆心角只由弧 BC 决定，式子里根本不出现 A。A 在弧上怎么滑动、两条边怎么开合，它一半的那个值都被牢牢钉在原处。所以同弧上的圆周角不是碰巧都一样，而是被同一个不动的量按住了——这就是开头那条弧的来历。
代价在于「切开的每一块」这句话不总成立。直径 AD 可能穿过角的内部，可能压在某条边上，也可能整个跑到角外面。三张图不同：内部是两块相加，外部是两块相减，压在边上时干脆只有一块。结论一样，但路必须分三条走完，少走一条，第三张图就成了别人手里的反例。
设 ⊙O 上有三点 A、B、C，弧 BC 指不含 A 的那一段。∠BOC 是这段弧的圆心角，∠BAC 是这段弧的圆周角。
定理：∠BAC = ½∠BOC。由此，同一段弧上的所有圆周角相等，因为它们都等于同一个 ∠BOC 的一半。
证明按圆心 O 相对 ∠BAC 的位置分三种情形，不重不漏。
情形二，O 在边上（设在 AB 上）：则 AB 是直径。三角形 OAC 中 OA=OC，故 ∠OAC=∠OCA；∠BOC 是它在 O 处的外角，于是 ∠BOC=2∠OAC=2∠BAC。
情形一，O 在角内：作直径 AD，D 落在弧 BC 上。∠BAD 与 ∠CAD 各自归入情形二，得 ∠BOD=2∠BAD、∠COD=2∠CAD。两式相加，∠BOC=2∠BAC。
情形三，O 在角外：仍作直径 AD，此时 D 不在弧 BC 上，B、C 同在 AD 一侧。两式改为相减，∠BOC=2∠BAC 依旧成立。
跟着做一遍
拿一个钟面当圆（12 个刻度，相邻刻度间的圆心角是 30°）。固定 B 在 2 点、C 在 5 点，把顶点 A 依次放在 9 点、11 点、12 点，求这三个 ∠BAC，并指出每一次圆心 O 落在角的内部、边上还是外部。
- 先算圆心角：2 点到 5 点隔 3 格，∠BOC = 3×30° = 90°。9 点、11 点、12 点都不在这段弧上，所以它们都能当这段弧的圆周角顶点。
- 定理预言三个角都是 90°÷2 = 45°。下面一个一个验过去，顺带认出三张图。
- A 在 11 点：11 点与 5 点隔 6 格，正好对径，所以 A、O、C 共线，AC 是直径——情形二，圆心在边上。
- 此时 ∠BOC 是等腰三角形 OAB 在 O 处的外角，∠BOC = 2∠BAC，故 ∠BAC = 45°。
- A 在 9 点：作直径 9 点→3 点，3 点夹在 2 点与 5 点之间，直径穿过角内——情形一。
- ∠BOD（2 点到 3 点）=30°，给出 ∠BAD=15°；∠DOC（3 点到 5 点）=60°，给出 ∠DAC=30°；相加得 45°。
- A 在 12 点：直径 12 点→6 点，而 6 点在弧 BC 外——情形三。∠BAD 对着 2 点到 6 点的 120°，等于 60°；∠CAD 对着 5 点到 6 点的 30°，等于 15°；这次相减，仍得 45°。
- 反向试一次：把 C 从 5 点挪到 6 点，弧变了，圆心角成 4×30°=120°，圆周角立刻跳到 60°。
结果
三个 ∠BAC 都是 45°，等于圆心角 90° 的一半；它们分别对应圆心在角内（9 点）、在边上（11 点）、在角外（12 点）三张图，答案毫无差别。而把弧换成 2 点到 6 点之后，圆周角变成 60°——变的是弧，不是顶点。