圆：圆心角、弧、弦，三样东西一一对应
圆是「到定点等距的点」的集合，所以它有无穷多条对称轴。在同一个圆里，圆心角、它对的弧、它对的弦，谁定了另外两个就定了。
6 分钟思维方法: 对称
看出对象在某种变换下重复自己，然后只算一半
这一片为什么存在
切一块 60° 的披萨，八寸的和十二寸的，外圈那条脆边长度差了一半，可两块的圆心角一模一样。角相同、弧不同——说明「圆心角决定弧」这句话少了半个前提。这一片要做的，就是把那半个前提找回来，顺便说清楚：在同一个圆里，圆心角、弧、弦这三样，为什么知道一个就等于知道了全部。
内容
把圆想成一个可以随便转的转盘。
圆的定义是「到圆心距离等于 r 的所有点」，绕圆心转任意角度，每个点到圆心的距离都没变，所以转完之后这个圆还是它自己——一点缺口都没有。这是圆最特别的地方，正方形、三角形都做不到。
现在在圆上取两点 A、B，它们和圆心 O 夹出一个角。把整个转盘绕 O 转过某个角度，A 跑到 A'，B 跑到 B'。转动不改变长度、不改变角度，所以 ∠A'OB' 和 ∠AOB 一样大，弦 A'B' 和弦 AB 一样长，A、B 之间那段弧也原封不动地被搬到了 A'、B' 之间——它只是换了个位置，长度一点没变。
反过来同样成立。如果圆上别处的一个圆心角恰好也等于 ∠AOB，那就一定存在一个转动，把前者严丝合缝地搬到后者身上。既然搬得上去，弧和弦就必然分别相等。
于是三样东西被同一个转动绑成了一捆：圆心角、弧、弦。定了任何一个，另外两个就没有选择的余地。
但要留意转动凭什么能做到这件事：它保住了半径。八寸披萨怎么转还是八寸，它变不成十二寸。所以这套推理只在同一个圆里（或者半径相等的两个圆之间）有效。跨到半径不同的圆上，60° 还是 60°，弧却按半径成比例地被拉长了。
设圆 ⊙O 的半径为 r，A、B 是圆上两点。∠AOB = α，即以 O 为顶点、OA 和 OB 为两边的角，称为圆心角。被它夹住的那段弧记作弧 AB，取劣弧（α < 180° 时较短的那段）。线段 AB 称为弦。
弧长 l = (α/360°)·2πr；若 α 用弧度制，则 l = αr。弦长 |AB| = 2r·sin(α/2)。
两个式子都长成「r 乘以一个只含 α 的因子」的样子。这就是「一一对应」的准确含义：r 固定时，l 与 |AB| 都是 α 在 0° 到 180° 上的严格递增函数，所以三者互相唯一确定。
顺带交代两件事。α = 180° 时弦恰好穿过圆心，这条弦就是直径，它是最长的弦，但它当然仍是弦。而 r 一变，两个式子的值就跟着变，跨圆比较相等无从谈起。
跟着做一遍
在半径 6 的圆里，求 60° 圆心角对应的弧长和弦长；再在半径 3 的圆里算同一个 60°。把四个数摆在一起看。
- 弧长公式 l = (α/360°)·2πr，代入 α = 60°、r = 6：l = (1/6)·2π·6 = 2π ≈ 6.28。
- 弦长公式 |AB| = 2r·sin(α/2) = 2×6×sin30° = 12×0.5 = 6。注意弦长恰好等于半径：60° 圆心角配上两条半径，围出的是等边三角形。
- 换成 r = 3，角不变：弧长 = (1/6)·2π·3 = π ≈ 3.14，弦长 = 2×3×sin30° = 3。
- 对比四个数：角一点没变，弧长和弦长却都恰好缩了一半，比值正是两个半径之比 3∶6。
- 反向走一遍。在 r = 6 的圆里只量到一条弦长 6，解 6 = 12·sin(α/2) 得 sin(α/2) = 0.5，于是 α = 60°。
- α 一确定，弧长也就锁死为 2π——从弦出发，同样能推出另外两个。
结果
同一个圆里，60° ↔ 弧 2π ↔ 弦 6 三者互锁，从任何一个出发都能推出另外两个。但换到 r = 3 的圆，同样的 60° 对应的是弧 π、弦 3。圆心角相等只保证两块「形状」相同，弧和弦的实际长度还得乘上半径。