切线与半径：为什么一定垂直

假如不垂直，从圆心作垂线会得到一条更短的线段，那个垂足就落在圆内，切线就会穿进去——与「只有一个公共点」矛盾。

6 分钟思维方法: 反证

先假设结论不成立，把自己逼进死胡同

这一片为什么存在

手上关于切线的全部定义只有一句话：它和圆恰好有一个公共点。这句话里没有出现任何角度、任何度数。可我们要证的偏偏是一个 90°。从一个不含角的条件里逼出一个直角，正面推是推不动的——这一片讲的就是绕过去的那条路。

先别管垂直，只问一件事：圆心 O 到一条直线的距离是多少。距离指的是最短的那一段，而最短的那一段一定是垂线段——从 O 向直线作垂线，垂足记作 H，OH 就是这个距离。

现在把切线摆上来。切点 P 既在直线上，也在圆上，所以 OP 正好等于半径 r。假设 OP 不垂直于这条直线，那么 P 和 H 就是两个不同的点，O、H、P 构成一个直角三角形，直角在 H 处。直角三角形里斜边最长，而 OP 正是斜边，于是 OH < OP = r。

这一步是全部关键：垂足 H 离圆心比半径还近，也就是说 H 落在圆的内部。可一条直线一旦经过圆内的某个点，它就必须从圆的一侧钻进去、再从另一侧钻出来，和圆一共交出两个点。而切线只被允许有一个公共点——矛盾就卡在这里。

所以「不垂直」这个假设活不下去，OP 只能垂直于切线。留意结论是怎么来的：它不是在图上量出来的，也不是画得准不准的问题，而是「只有一个公共点」这句话唯一能兼容的姿态。切线也不是碰一下就走、跟半径没关系；恰恰是那唯一的公共点，把它和那条半径死死锁在了一起。

设 ⊙O 半径为 r，直线 l 与 ⊙O 相切于点 P，即交集 l ∩ ⊙O = {P}。P 在圆上，故 OP = r。

反设 OP 不垂直于 l。作 OH ⊥ l，垂足为 H，则 H ≠ P。在 Rt△OHP 中 ∠OHP = 90°，OP 是斜边，故 OH < OP = r。

在 l 上以 H 为原点建立坐标，设点 X 的坐标为 t，则 OX² = OH² + t²。取 t = ±√(r² − OH²)，根号内因 OH < r 而为正，于是得到 l 上两个不同的点，它们到 O 的距离都等于 r，都在圆上。这与 l ∩ ⊙O 只含一个元素矛盾。

故反设不成立，OP ⊥ l。

以原点 O 为圆心、半径 5 作圆，取圆上一点 P(3,4)。过 P 的水平线 y = 4 是切线吗？如果不是，过 P 的切线又该是哪一条？把两条直线都和圆联立算一遍。

画出以 O 为心、半径 5 的圆，标出 P(3,4)：因为 3² + 4² = 25，它确实在圆上。
先试那条看着很像切线的水平线 l₁：y = 4，它的确经过 P。
从 O 向 l₁ 作垂线，垂足是 H(0,4)，量得 OH = 4。
比一比：OH = 4 < 5 = r，所以 H 在圆内——反证法里那条「更短的线段」真的出现了。
于是 l₁ 必然穿进圆里：把 y = 4 代入 x² + y² = 25 得 x² = 9，x = ±3，交点是 (3,4) 和 (−3,4)，共两个，l₁ 不是切线。
把结论反过来用：真正的切线必须让垂足和切点重合。OP 的斜率是 4/3，故切线斜率取 −3/4，写出 l₂：3x + 4y = 25。
验距离：O 到 l₂ 的距离为 |3·0 + 4·0 − 25| / √(3² + 4²) = 25/5 = 5，正好等于 r，垂足就是 P 本身。
验交点：把 3x + 4y = 25 与 x² + y² = 25 联立消元，得 25x² − 150x + 225 = 0，即 (x − 3)² = 0，x = 3 是重根，公共点只有 P。

y = 4 与圆有两个公共点，不是切线；3x + 4y = 25 只有 P 一个公共点，而它恰好垂直于 OP。垂直不是画出来看着像，是被「只有一个公共点」这句话算出来的。