勾股定理：一个关于面积的恒等式

先把定理放一边，做一件手工活。

剪四个一模一样的直角三角形，两条直角边是 a 和 b，斜边是 c。再拿一块边长 a+b 的正方形纸板——这个尺寸不是猜的，是因为一段 a 接一段 b 正好这么长。同一块纸板，同样这四个三角形，我们要摆两次。

第一次：在纸板的下边从左量出 a，剩下的一段自然是 b；左边也照样量一次。两组记号把纸板切成四块——一个边长 a 的正方形、一个边长 b 的正方形、两个 a×b 的长方形。每个长方形沿对角线一剪，就是两个我们要的三角形，而那条对角线的长度正是 c。所以四个三角形恰好铺满两个长方形，没被盖住的空白是 a²+b²。

第二次：把这四个三角形挪到纸板的四个角上，直角顶着角，两条直角边贴着纸板的两条边，斜边一律朝里。四条斜边围出中间一块空白，它是个正方形，边长 c，面积 c²。

关键的一句在这里：纸板没变，四个三角形没变，它们盖住的面积当然也没变。那么没被盖住的部分，两次摆法必须一样多。于是 a²+b²=c²。

请注意你全程没有量任何东西。你只是把同样的四块纸挪了个位置，然后用了一句「挪动不会凭空生出面积」。这就是为什么它不是一条量出来的经验规律，而是一个恒等式——它跟你的尺子准不准无关。

还有两处必须盯死。第二次摆法里，中间那块空白凭什么四个角都是直角？靠的是直角三角形的两个锐角相加等于 90° 这件事。三角形一旦不是直角的，这一步立刻断掉，中间围出的就不是正方形，它的面积也就不再是某条边的平方。

另一处是 c 的身份。它是被四个三角形围在中间的那条边，也就是斜边。换成 a 或 b 去当这个角色，它根本围不出中间那块空白。

记两条直角边为 a、b，斜边为 c。斜边指的是与直角相对的那条边。

大正方形的边长为 a+b，面积是 (a+b)²，展开得 a²+2ab+b²。

四个三角形全等，每个面积 ab/2，四个合计 2ab。全等图形面积相等，所以这个 2ab 在两次摆法里是同一个数。

摆法一的空白 = (a+b)² − 2ab = a²+b²。
摆法二的空白 = (a+b)² − 2ab = a²+b²，而这块空白是边长 c 的正方形，面积为 c²。

两者相等，得 a²+b²=c²。

还要补上「中间确实是正方形」这一环。设三角形的两个锐角为 α 和 β，因为内角和是 180°、其中一个角是 90°，所以 α+β=90°。在大正方形的每条边上，α、中间空白的一个内角、β 依次排成一条直线，合起来 180°。于是那个内角 = 180°−90° = 90°。四条边都等于 c，四个角都是 90°，它就是正方形。

α+β=90° 这一步，用掉的正是「有一个直角」这个前提。前提一撤，结论跟着失效。