全等的判定：SSS、SAS、ASA，以及 SSA 为什么不行

三角形一共有六个量:三条边、三个角。判定全等,意思是只报出其中几个,别人就能复原出唯一的那一个图形。

先做一件事:把三角形想成三根木棍钉成的框架。三边定了以后,这个框架推不动——四边形一推就垮,三角形不会。SSS 为什么成立,就在这里:三条边一旦给定,形状没有任何活动余地。

换一个更接近作图的看法。画图是一步步把点钉住的过程,每给一个条件,就消掉一部分自由。SAS 是这样走的:两条边和它们中间那个角都定了,第三个顶点已经没得选,连起来就完事。ASA 也一样:底边定了,从两个端点各射出一条方向确定的射线,两条射线只交于一点,顶点就落在那儿。

为什么三个条件是「够用」的数量?因为一个三角形连形状带大小,合起来只有三个自由度。这也解释了 AAA 为什么不行:三个角只锁死了形状,没有一个条件提到长度,整张图可以随意放大缩小。三角尺和它投在墙上的影子,三个角一模一样,但显然不全等。角度只管形状,至少得有一条边来定尺寸。

SSA 的毛病更隐蔽。它给的是两条边,和其中一条边所对的角,不是夹角。作图时你只能这么走:先画出角的一条边 AB,再从 A 出发画出另一条射线;第三个点 C 要落在这条射线上,同时到 B 的距离等于给定的那个数。于是问题变成:以 B 为圆心的一个圆,和一条射线,交在哪里?

圆和直线可以交于两点。全部的毛病就在这一句。SAS 和 ASA 的每一步都是直线交直线,交点只有一个;SSA 中间夹了一次圆交直线,而圆是弯的,一条直线能穿过它两次。多出来的那个交点,就是那个和你不一样的三角形。

而且它不是永远给两个。B 到射线的距离 h 是关键:半径比 h 小,圆够不着,一个也画不出来;正好等于 h,相切,只得到一个直角三角形;比 h 大但不超过 AB,穿过两次,两个答案;再长下去,多出来的交点被甩到 A 的另一侧,不在射线上,于是又变回一个。同样三个数据,答案个数在 0、1、2、1 之间跳。判定定理要的是对每一组输入都唯一,所以 SSA 只能出局。

先把记号说清楚。△ABC ≌ △DEF 中字母的顺序不是随手写的:它同时声明了对应关系 A↔D、B↔E、C↔F,以及六组相等——AB=DE、BC=EF、CA=FD、∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F。写成 △ABC ≌ △EFD,就是另一个命题了。

S 指边(side),A 指角(angle),字母的排列顺序表示它们在三角形上的相邻次序。

SSS:三边分别相等,则两个三角形全等。
SAS:两边及其夹角分别相等,则全等;这里的 A 必须夹在两个 S 中间。
ASA:两角及其夹边分别相等,则全等。由内角和为 180°,两角定了第三个角也定了,所以 AAS(两角及其中一角的对边)同样成立,它是 ASA 的推论。

SSA 说的是:两边及其中一边的对角分别相等。在 △ABC 中,把 ∠A 的对边记作 a,给定的另一条边取邻边 AB 记作 c,并令 h = c·sin A。当 ∠A 为锐角时,满足条件的三角形个数按 a 分成四段:

a < h:无解;
a = h:唯一解,且是直角三角形;
h < a < c:两解,互不全等;
a ≥ c:唯一解。

第三段直接给出两个不全等的三角形,唯一性就没了;第一段连三角形都不存在。四种情形不重不漏,而只有两种落在「唯一」上,所以 SSA 当不了判定定理。若 ∠A 为直角或钝角,则只有 a > c 时有解且唯一——这正是直角三角形的 HL 判定(斜边与一条直角边分别相等)能够成立的原因。