相似：形状相同、大小不同

相似的直觉只有一句话：同一个形状，被均匀地放大或缩小。重点全在「均匀」两个字上。

想象你用投影仪把一张图打到墙上。图上任何一段线，长度都乘同一个数；任何一个角，度数一点没变。这就是相似。反过来，如果你只把图片的宽度拉宽、高度不动，长度确实变了，但拉的不是同一个数，角也跟着歪了——那不叫相似，那叫变形。

所以「长得像」不是数学说法。两个人长得像，没法量；两个图形相似，可以量，而且量出来的比值必须处处相同。

那两个条件真的都需要吗？各看一个反例。

正方形和菱形：正方形四条边 1、1、1、1，菱形四条边 2、2、2、2，边处处成比例，比值都是 2。但菱形是压扁的，角是 60° 和 120°，正方形是 90°。它们不相似。边成比例，不够。

正方形和长方形：四个角全是 90°，角对应相等。但正方形 2×2、长方形 2×5，边不成比例。它们也不相似。角相等，同样不够。

最后是面积，这里几乎人人都会摔一跤。把一个三角形的边长全部放大到 2 倍，新三角形里能装下几个原来的？不是 2 个，是 4 个——你可以画出来：把大三角形的三条边各取中点连起来，正好切成 4 个和原来一模一样的小三角形。放大到 3 倍就是 9 个。

原因很朴素：面积是「长 × 宽」这种两个长度方向的乘积。两个方向各乘了同一个数，乘积就乘了它的平方。

现在把话说死。

设两个多边形 ABCD… 与 A′B′C′D′…，字母按对应顺序写。称它们相似，当且仅当两条同时成立：

(1) 对应角相等：∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，依此类推。
(2) 对应边成比例：A′B′/AB = B′C′/BC = … = k。

这里的 k 是一个正数，叫相似比。k > 1 是放大，k < 1 是缩小，k = 1 就退化成全等。撇号只是记号，A′ 读作「A 撇」，表示 A 在新图形里的对应点。

记法写成 △ABC ∽ △A′B′C′。符号 ∽ 读作「相似于」。字母的书写顺序本身就在声明对应关系：A 配 A′，B 配 B′。顺序写错，结论就错。

三角形有个省力的特例：只要两组角对应相等（记作 AA），第三组角自动相等，边也自动成比例。所以判定三角形相似，查角就够了。四边形及以上没有这个便宜，两条都得查。

由 k 直接推出三个结论：
周长比 = k。
面积比 = k²。
体积比 = k³（针对相似的立体图形）。

只有第一条是 k 的一次方。后两条的指数，等于那个量用到了几个长度方向。